Por supuesto, vamos a estimar las raíces enésimas y las potencias de exponente fraccionario dadas, y ubicarlas en una recta numérica. Para evitar confusiones, discutimos cada expresión una por una, y luego las ubicamos en las posiciones correctas.
1. Para [tex]\(5^{\frac{1}{4}}\)[/tex]:
Queremos encontrar la cuarta raíz de 5. Sabemos que la cuarta raíz de 5 es aproximadamente 1.495.
2. Para [tex]\(\sqrt[3]{40}\)[/tex]:
Queremos encontrar la raíz cúbica de 40. Sabemos que la raíz cúbica de 40 es aproximadamente 3.420.
3. Para [tex]\(\left(\frac{5}{3}\right)^{-\frac{1}{3}}\)[/tex]:
Primero, notemos que un exponente negativo significa que invertimos el número antes de calcular la raíz. La base [tex]\( \frac{5}{3} \)[/tex] invertida es [tex]\( \frac{3}{5} \)[/tex], y luego queremos encontrar la raíz cúbica de esto. La raíz cúbica de [tex]\( \frac{3}{5} \)[/tex] es aproximadamente 0.843.
4. Para [tex]\( \sqrt[5]{5^2}\)[/tex]:
Podemos reescribir esto como [tex]\( \left(5^2\right)^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{2}{5}} \)[/tex]. Queremos encontrar cinco a la potencia de dos quintos. Esta es aproximadamente 1.904.
5. Para [tex]\( \sqrt{8} \)[/tex] (recuerde que aquí el exponente es [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex]):
Queremos encontrar la raíz cuadrada de 8. Sabemos que la raíz cuadrada de 8 es aproximadamente 2.828.
Ahora, ubiquemos estos valores en la recta numérica. Sabemos que en orden ascendente, estas aproximaciones son:
[tex]\( \left( \frac{5}{3} \right)^{-\frac{1}{3}} \approx 0.843 \)[/tex]
[tex]\( 5^{\frac{1}{4}} \approx 1.495 \)[/tex]
[tex]\( 5^{\frac{2}{5}} \approx 1.904 \)[/tex]
[tex]\( \sqrt{8} \approx 2.828 \)[/tex]
[tex]\( \sqrt[3]{40} \approx 3.420 \)[/tex]
Por lo tanto, la ubicación de las expresiones en la recta numérica, desde la menor a la mayor, sería:
1. [tex]\( \left( \frac{5}{3} \right)^{-\frac{1}{3}} \approx 0.843 \)[/tex]
2. [tex]\( 5^{\frac{1}{4}} \approx 1.495 \)[/tex]
3. [tex]\( 5^{\frac{2}{5}} \approx 1.904 \)[/tex]
4. [tex]\( \sqrt{8} \approx 2.828 \)[/tex]
5. [tex]\( \sqrt[3]{40} \approx 3.420 \)[/tex]
Estas son las posiciones aproximadas de las expresiones dadas en la recta numérica.
