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Sagot :
Vamos a analizar cada afirmación una por una, justificando las respuestas y determinando si son Verdaderas (V) o Falsas (F).
1. El par ordenado [tex]\( z = (0,2) \)[/tex] es un número complejo imaginario puro.
Justificación: Un número complejo es imaginario puro si su parte real es cero. En este caso, la parte real es 0 y la parte imaginaria es 2. Por lo tanto, la afirmación es verdadera (V).
2. El módulo del número complejo [tex]\( z = (5,4) \)[/tex] es 9.
Justificación: El módulo de un número complejo [tex]\( z = a + bi \)[/tex] se calcula como [tex]\( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)[/tex].
Para [tex]\( z = 5 + 4i \)[/tex]:
[tex]\[ |5 + 4i| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.4 \][/tex]
Por lo tanto, la afirmación es falsa (F).
3. Los números complejos [tex]\( (a, 8) \)[/tex] y [tex]\( (8, a) \)[/tex] son iguales solo cuando [tex]\( a = 8 \)[/tex].
Justificación: Para que los números complejos [tex]\( (a, 8) \)[/tex] (que es [tex]\( a + 8i \)[/tex]) y [tex]\( (8, a) \)[/tex] (que es [tex]\( 8 + ai \)[/tex]) sean iguales, tanto las partes reales como las imaginarias deben coincidir. Esto solo ocurre cuando [tex]\( a = 8 \)[/tex]. Por lo tanto, la afirmación es verdadera (V).
4. La forma binómica del número complejo [tex]\( (2,-3) \)[/tex] es [tex]\( -3 + 2i \)[/tex].
Justificación: En la notación [tex]\( (a, b) \)[/tex], [tex]\( a \)[/tex] representa la parte real y [tex]\( b \)[/tex] la parte imaginaria. Por lo tanto, [tex]\( (2,-3) \)[/tex] se representa como [tex]\( 2 - 3i \)[/tex] en forma binómica. La afirmación dice [tex]\( -3 + 2i \)[/tex], lo cual está incorrecto. Por lo tanto, la afirmación es falsa (F).
5. El conjugado del número complejo [tex]\( 3 + 2i \)[/tex] es [tex]\( 3 - 2i \)[/tex].
Justificación: El conjugado de un número complejo [tex]\( a + bi \)[/tex] se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria, es decir, [tex]\( a - bi \)[/tex]. Entonces, el conjugado de [tex]\( 3 + 2i \)[/tex] es [tex]\( 3 - 2i \)[/tex]. Por lo tanto, la afirmación es verdadera (V).
6. El número complejo [tex]\( 3i + i^2 \)[/tex] es igual a [tex]\( -1 + 3i \)[/tex].
Justificación: Sabemos que [tex]\( i^2 = -1 \)[/tex]. Entonces,
[tex]\[ 3i + i^2 = 3i - 1 = -1 + 3i \][/tex]
Por lo tanto, la afirmación es verdadera (V).
7. [tex]\( \operatorname{Re}(3i + i^2) = -1 \)[/tex].
Justificación: De la afirmación anterior, sabemos que [tex]\( 3i + i^2 = -1 + 3i \)[/tex]. La parte real (Re) de [tex]\( -1 + 3i \)[/tex] es [tex]\(-1\)[/tex]. Por lo tanto, la afirmación es verdadera (V).
8. El argumento principal del número complejo [tex]\( -4 + 4i \)[/tex] es [tex]\( 135^\circ \)[/tex].
Justificación: El argumento de un número complejo [tex]\( a + bi \)[/tex] es el ángulo [tex]\( \theta \)[/tex] en el plano complejo. Para [tex]\( -4 + 4i \)[/tex], este ángulo está en el segundo cuadrante. El ángulo es [tex]\( 135^\circ \)[/tex]. Por lo tanto, la afirmación es verdadera (V).
9. Si [tex]\( z = 3 - 5i \)[/tex], entonces [tex]\( |z|^2 = 34 \)[/tex].
Justificación: El módulo al cuadrado de un número complejo [tex]\( z = a + bi \)[/tex] es [tex]\( |z|^2 = a^2 + b^2 \)[/tex]. Para [tex]\( z = 3 - 5i \)[/tex]:
[tex]\[ |3 - 5i|^2 = 3^2 + (-5)^2 = 9 + 25 = 34 \][/tex]
Por lo tanto, la afirmación es verdadera (V).
10. Si [tex]\( z = 23i \)[/tex] y [tex]\( w = 3 - 2i \)[/tex], entonces
Para este inciso, no hay una afirmación concreta para evaluar. Necesitaríamos más información para determinar alguna propiedad o igualación específica.
En resumen, nuestras respuestas son:
1. V
2. F
3. V
4. F
5. V
6. V
7. V
8. V
9. V
1. El par ordenado [tex]\( z = (0,2) \)[/tex] es un número complejo imaginario puro.
Justificación: Un número complejo es imaginario puro si su parte real es cero. En este caso, la parte real es 0 y la parte imaginaria es 2. Por lo tanto, la afirmación es verdadera (V).
2. El módulo del número complejo [tex]\( z = (5,4) \)[/tex] es 9.
Justificación: El módulo de un número complejo [tex]\( z = a + bi \)[/tex] se calcula como [tex]\( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)[/tex].
Para [tex]\( z = 5 + 4i \)[/tex]:
[tex]\[ |5 + 4i| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.4 \][/tex]
Por lo tanto, la afirmación es falsa (F).
3. Los números complejos [tex]\( (a, 8) \)[/tex] y [tex]\( (8, a) \)[/tex] son iguales solo cuando [tex]\( a = 8 \)[/tex].
Justificación: Para que los números complejos [tex]\( (a, 8) \)[/tex] (que es [tex]\( a + 8i \)[/tex]) y [tex]\( (8, a) \)[/tex] (que es [tex]\( 8 + ai \)[/tex]) sean iguales, tanto las partes reales como las imaginarias deben coincidir. Esto solo ocurre cuando [tex]\( a = 8 \)[/tex]. Por lo tanto, la afirmación es verdadera (V).
4. La forma binómica del número complejo [tex]\( (2,-3) \)[/tex] es [tex]\( -3 + 2i \)[/tex].
Justificación: En la notación [tex]\( (a, b) \)[/tex], [tex]\( a \)[/tex] representa la parte real y [tex]\( b \)[/tex] la parte imaginaria. Por lo tanto, [tex]\( (2,-3) \)[/tex] se representa como [tex]\( 2 - 3i \)[/tex] en forma binómica. La afirmación dice [tex]\( -3 + 2i \)[/tex], lo cual está incorrecto. Por lo tanto, la afirmación es falsa (F).
5. El conjugado del número complejo [tex]\( 3 + 2i \)[/tex] es [tex]\( 3 - 2i \)[/tex].
Justificación: El conjugado de un número complejo [tex]\( a + bi \)[/tex] se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria, es decir, [tex]\( a - bi \)[/tex]. Entonces, el conjugado de [tex]\( 3 + 2i \)[/tex] es [tex]\( 3 - 2i \)[/tex]. Por lo tanto, la afirmación es verdadera (V).
6. El número complejo [tex]\( 3i + i^2 \)[/tex] es igual a [tex]\( -1 + 3i \)[/tex].
Justificación: Sabemos que [tex]\( i^2 = -1 \)[/tex]. Entonces,
[tex]\[ 3i + i^2 = 3i - 1 = -1 + 3i \][/tex]
Por lo tanto, la afirmación es verdadera (V).
7. [tex]\( \operatorname{Re}(3i + i^2) = -1 \)[/tex].
Justificación: De la afirmación anterior, sabemos que [tex]\( 3i + i^2 = -1 + 3i \)[/tex]. La parte real (Re) de [tex]\( -1 + 3i \)[/tex] es [tex]\(-1\)[/tex]. Por lo tanto, la afirmación es verdadera (V).
8. El argumento principal del número complejo [tex]\( -4 + 4i \)[/tex] es [tex]\( 135^\circ \)[/tex].
Justificación: El argumento de un número complejo [tex]\( a + bi \)[/tex] es el ángulo [tex]\( \theta \)[/tex] en el plano complejo. Para [tex]\( -4 + 4i \)[/tex], este ángulo está en el segundo cuadrante. El ángulo es [tex]\( 135^\circ \)[/tex]. Por lo tanto, la afirmación es verdadera (V).
9. Si [tex]\( z = 3 - 5i \)[/tex], entonces [tex]\( |z|^2 = 34 \)[/tex].
Justificación: El módulo al cuadrado de un número complejo [tex]\( z = a + bi \)[/tex] es [tex]\( |z|^2 = a^2 + b^2 \)[/tex]. Para [tex]\( z = 3 - 5i \)[/tex]:
[tex]\[ |3 - 5i|^2 = 3^2 + (-5)^2 = 9 + 25 = 34 \][/tex]
Por lo tanto, la afirmación es verdadera (V).
10. Si [tex]\( z = 23i \)[/tex] y [tex]\( w = 3 - 2i \)[/tex], entonces
Para este inciso, no hay una afirmación concreta para evaluar. Necesitaríamos más información para determinar alguna propiedad o igualación específica.
En resumen, nuestras respuestas son:
1. V
2. F
3. V
4. F
5. V
6. V
7. V
8. V
9. V
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