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Sagot :
Para resolver la división de un polinomio [tex]\( p(x) \)[/tex] entre el binomio [tex]\( 3x + 6 \)[/tex], necesitamos realizar el proceso de división polinómica. A continuación, describo los pasos que debes seguir para realizar esta división a mano.
1. Estructura del polinomio: Considere que el polinomio [tex]\( p(x) \)[/tex] puede ser cualquier polinomio. Aquí, sin pérdida de generalidad, asumo un polinomio general de la forma [tex]\( p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \)[/tex].
2. Primera División: Dividimos el primer término del polinomio [tex]\( p(x) \)[/tex] (que es [tex]\( a_n x^n \)[/tex]) entre el primer término del divisor (que es [tex]\( 3x \)[/tex]). El resultado será [tex]\(\frac{a_n x^n}{3x} = \frac{a_n}{3} x^{n-1}\)[/tex]. Este es el primer término del cociente.
3. Resto Parcial: Multiplicamos el dividendo parcial [tex]\(\frac{a_n}{3} x^{n-1}\)[/tex] por el divisor completo [tex]\( 3x + 6 \)[/tex] y restamos el resultado de [tex]\( p(x) \)[/tex]. Esto nos da un nuevo polinomio residual.
4. Repetir el Proceso: Repetimos los pasos anteriores usando el nuevo polinomio residual. Dividimos el primer término del nuevo polinomio residual por [tex]\( 3x \)[/tex], obtenemos el nuevo término del cociente, y restamos el producto del nuevo término del cociente por [tex]\( 3x + 6 \)[/tex] del nuevo polinomio residual.
5. Continuar Hasta que el Grado del Resto Sea Menor: Continuamos este proceso hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor [tex]\( 3x + 6 \)[/tex] (que es 1).
Vamos a ilustrar esto con un ejemplo concreto. Supongamos [tex]\( p(x) = 6x^3 + 18x^2 + 12x + 6 \)[/tex] y queremos dividirlo por [tex]\( 3x + 6 \)[/tex].
### Ejemplo:
1. Primera División:
[tex]\[ \frac{6x^3}{3x} = 2x^2 \][/tex]
El primer término del cociente es [tex]\( 2x^2 \)[/tex].
2. Primera Multiplicación y Sustracción:
Multiplicamos [tex]\( 2x^2 \)[/tex] por [tex]\( 3x + 6 \)[/tex]:
[tex]\[ 2x^2 \cdot (3x + 6) = 6x^3 + 12x^2 \][/tex]
Restamos de [tex]\( p(x) \)[/tex]:
[tex]\[ (6x^3 + 18x^2 + 12x + 6) - (6x^3 + 12x^2) = 6x^2 + 12x + 6 \][/tex]
El nuevo polinomio residual es [tex]\( 6x^2 + 12x + 6 \)[/tex].
3. Segunda División:
[tex]\[ \frac{6x^2}{3x} = 2x \][/tex]
El segundo término del cociente es [tex]\( 2x \)[/tex].
4. Segunda Multiplicación y Sustracción:
Multiplicamos [tex]\( 2x \)[/tex] por [tex]\( 3x + 6 \)[/tex]:
[tex]\[ 2x \cdot (3x + 6) = 6x^2 + 12x \][/tex]
Restamos de [tex]\( 6x^2 + 12x + 6 \)[/tex]:
[tex]\[ (6x^2 + 12x + 6) - (6x^2 + 12x) = 6 \][/tex]
El nuevo polinomio residual es [tex]\( 6 \)[/tex].
5. Tercera División:
[tex]\[ \frac{6}{3x} = \][/tex]
Como el término libre 6 no tiene [tex]\( x \)[/tex], no podemos continuar la división. Aquí el grado del residuo (0) es menor que el del divisor (1).
En conclusión, el cociente es:
[tex]\[ 2x^2 + 2x \][/tex]
Y el residuo es:
[tex]\[ 6 \][/tex]
Entonces, podemos expresar la solución de la división como:
[tex]\[ \frac{6x^3 + 18x^2 + 12x + 6}{3x + 6} = 2x^2 + 2x + \frac{6}{3x + 6} \][/tex]
El cociente es [tex]\( 2x^2 + 2x \)[/tex] y el residuo es 6.
1. Estructura del polinomio: Considere que el polinomio [tex]\( p(x) \)[/tex] puede ser cualquier polinomio. Aquí, sin pérdida de generalidad, asumo un polinomio general de la forma [tex]\( p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \)[/tex].
2. Primera División: Dividimos el primer término del polinomio [tex]\( p(x) \)[/tex] (que es [tex]\( a_n x^n \)[/tex]) entre el primer término del divisor (que es [tex]\( 3x \)[/tex]). El resultado será [tex]\(\frac{a_n x^n}{3x} = \frac{a_n}{3} x^{n-1}\)[/tex]. Este es el primer término del cociente.
3. Resto Parcial: Multiplicamos el dividendo parcial [tex]\(\frac{a_n}{3} x^{n-1}\)[/tex] por el divisor completo [tex]\( 3x + 6 \)[/tex] y restamos el resultado de [tex]\( p(x) \)[/tex]. Esto nos da un nuevo polinomio residual.
4. Repetir el Proceso: Repetimos los pasos anteriores usando el nuevo polinomio residual. Dividimos el primer término del nuevo polinomio residual por [tex]\( 3x \)[/tex], obtenemos el nuevo término del cociente, y restamos el producto del nuevo término del cociente por [tex]\( 3x + 6 \)[/tex] del nuevo polinomio residual.
5. Continuar Hasta que el Grado del Resto Sea Menor: Continuamos este proceso hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor [tex]\( 3x + 6 \)[/tex] (que es 1).
Vamos a ilustrar esto con un ejemplo concreto. Supongamos [tex]\( p(x) = 6x^3 + 18x^2 + 12x + 6 \)[/tex] y queremos dividirlo por [tex]\( 3x + 6 \)[/tex].
### Ejemplo:
1. Primera División:
[tex]\[ \frac{6x^3}{3x} = 2x^2 \][/tex]
El primer término del cociente es [tex]\( 2x^2 \)[/tex].
2. Primera Multiplicación y Sustracción:
Multiplicamos [tex]\( 2x^2 \)[/tex] por [tex]\( 3x + 6 \)[/tex]:
[tex]\[ 2x^2 \cdot (3x + 6) = 6x^3 + 12x^2 \][/tex]
Restamos de [tex]\( p(x) \)[/tex]:
[tex]\[ (6x^3 + 18x^2 + 12x + 6) - (6x^3 + 12x^2) = 6x^2 + 12x + 6 \][/tex]
El nuevo polinomio residual es [tex]\( 6x^2 + 12x + 6 \)[/tex].
3. Segunda División:
[tex]\[ \frac{6x^2}{3x} = 2x \][/tex]
El segundo término del cociente es [tex]\( 2x \)[/tex].
4. Segunda Multiplicación y Sustracción:
Multiplicamos [tex]\( 2x \)[/tex] por [tex]\( 3x + 6 \)[/tex]:
[tex]\[ 2x \cdot (3x + 6) = 6x^2 + 12x \][/tex]
Restamos de [tex]\( 6x^2 + 12x + 6 \)[/tex]:
[tex]\[ (6x^2 + 12x + 6) - (6x^2 + 12x) = 6 \][/tex]
El nuevo polinomio residual es [tex]\( 6 \)[/tex].
5. Tercera División:
[tex]\[ \frac{6}{3x} = \][/tex]
Como el término libre 6 no tiene [tex]\( x \)[/tex], no podemos continuar la división. Aquí el grado del residuo (0) es menor que el del divisor (1).
En conclusión, el cociente es:
[tex]\[ 2x^2 + 2x \][/tex]
Y el residuo es:
[tex]\[ 6 \][/tex]
Entonces, podemos expresar la solución de la división como:
[tex]\[ \frac{6x^3 + 18x^2 + 12x + 6}{3x + 6} = 2x^2 + 2x + \frac{6}{3x + 6} \][/tex]
El cociente es [tex]\( 2x^2 + 2x \)[/tex] y el residuo es 6.
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