IDNLearn.com: Your one-stop destination for finding reliable answers. Our platform provides detailed and accurate responses from experts, helping you navigate any topic with confidence.
Sagot :
Para resolver este problema, veamos primero la aceleración y cómo afecta la velocidad y el desplazamiento con el tiempo dado.
### Datos iniciales:
- La aceleración del tren está dada por la función [tex]\( a(t) = 10t + 3 \)[/tex] en unidades de [tex]\( \text{m/s}^2 \)[/tex].
- Consideramos las siguientes condiciones iniciales:
- Velocidad inicial [tex]\( v(0) = 0 \)[/tex], es decir, el tren parte del reposo.
- Desplazamiento inicial [tex]\( s(0) = 0 \)[/tex], es decir, el tren comienza en el punto de origen.
### Calcular la velocidad del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos
Para encontrar la velocidad, debemos integrar la función de aceleración, ya que la velocidad es la integral de la aceleración:
[tex]\[ v(t) = \int a(t) \, dt \][/tex]
Dado que [tex]\( a(t) = 10t + 3 \)[/tex]:
[tex]\[ v(t) = \int (10t + 3) \, dt \][/tex]
La integral de [tex]\( 10t \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 10t \, dt = 10 \frac{t^2}{2} = 5t^2 \][/tex]
Y la integral de [tex]\( 3 \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 3 \, dt = 3t \][/tex]
Entonces, combinando estas integrales obtenemos:
[tex]\[ v(t) = 5t^2 + 3t + C \][/tex]
Dado que la condición inicial es [tex]\( v(0) = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 0 = 5(0)^2 + 3(0) + C \implies C = 0 \][/tex]
Por lo tanto, la velocidad en cualquier tiempo [tex]\( t \)[/tex] está dada por:
[tex]\[ v(t) = 5t^2 + 3t \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos:
[tex]\[ v(1.5) = 5(1.5)^2 + 3(1.5) \][/tex]
[tex]\[ v(1.5) = 5(2.25) + 4.5 \][/tex]
[tex]\[ v(1.5) = 11.25 + 4.5 \][/tex]
[tex]\[ v(1.5) = 15.75 \ \text{m/s} \][/tex]
### Calcular el desplazamiento del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos
Para el desplazamiento, debemos integrar la función de velocidad, ya que el desplazamiento es la integral de la velocidad:
[tex]\[ s(t) = \int v(t) \, dt \][/tex]
Dado que [tex]\( v(t) = 5t^2 + 3t \)[/tex]:
[tex]\[ s(t) = \int (5t^2 + 3t) \, dt \][/tex]
La integral de [tex]\( 5t^2 \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 5t^2 \, dt = 5 \frac{t^3}{3} = \frac{5}{3} t^3 \][/tex]
Y la integral de [tex]\( 3t \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 3t \, dt = 3 \frac{t^2}{2} = \frac{3}{2} t^2 \][/tex]
Entonces, combinando estas integrales obtenemos:
[tex]\[ s(t) = \frac{5}{3} t^3 + \frac{3}{2} t^2 + C \][/tex]
Dado que la condición inicial es [tex]\( s(0) = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 0 = \frac{5}{3} (0)^3 + \frac{3}{2} (0)^2 + C \implies C = 0 \][/tex]
Por lo tanto, el desplazamiento en cualquier tiempo [tex]\( t \)[/tex] está dado por:
[tex]\[ s(t) = \frac{5}{3} t^3 + \frac{3}{2} t^2 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos:
[tex]\[ s(1.5) = \frac{5}{3} (1.5)^3 + \frac{3}{2} (1.5)^2 \][/tex]
Calculamos [tex]\( (1.5)^3 \)[/tex]:
[tex]\[ (1.5)^3 = 3.375 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ s(1.5) = \frac{5}{3} \times 3.375 + \frac{3}{2} \times 2.25 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5.625 + 3.375 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 9 \ \text{m} \][/tex]
### Resumen de resultados
- La velocidad del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos es de [tex]\( 15.75 \ \text{m/s} \)[/tex].
- El desplazamiento del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos es de [tex]\( 9 \ \text{m} \)[/tex].
### Datos iniciales:
- La aceleración del tren está dada por la función [tex]\( a(t) = 10t + 3 \)[/tex] en unidades de [tex]\( \text{m/s}^2 \)[/tex].
- Consideramos las siguientes condiciones iniciales:
- Velocidad inicial [tex]\( v(0) = 0 \)[/tex], es decir, el tren parte del reposo.
- Desplazamiento inicial [tex]\( s(0) = 0 \)[/tex], es decir, el tren comienza en el punto de origen.
### Calcular la velocidad del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos
Para encontrar la velocidad, debemos integrar la función de aceleración, ya que la velocidad es la integral de la aceleración:
[tex]\[ v(t) = \int a(t) \, dt \][/tex]
Dado que [tex]\( a(t) = 10t + 3 \)[/tex]:
[tex]\[ v(t) = \int (10t + 3) \, dt \][/tex]
La integral de [tex]\( 10t \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 10t \, dt = 10 \frac{t^2}{2} = 5t^2 \][/tex]
Y la integral de [tex]\( 3 \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 3 \, dt = 3t \][/tex]
Entonces, combinando estas integrales obtenemos:
[tex]\[ v(t) = 5t^2 + 3t + C \][/tex]
Dado que la condición inicial es [tex]\( v(0) = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 0 = 5(0)^2 + 3(0) + C \implies C = 0 \][/tex]
Por lo tanto, la velocidad en cualquier tiempo [tex]\( t \)[/tex] está dada por:
[tex]\[ v(t) = 5t^2 + 3t \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos:
[tex]\[ v(1.5) = 5(1.5)^2 + 3(1.5) \][/tex]
[tex]\[ v(1.5) = 5(2.25) + 4.5 \][/tex]
[tex]\[ v(1.5) = 11.25 + 4.5 \][/tex]
[tex]\[ v(1.5) = 15.75 \ \text{m/s} \][/tex]
### Calcular el desplazamiento del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos
Para el desplazamiento, debemos integrar la función de velocidad, ya que el desplazamiento es la integral de la velocidad:
[tex]\[ s(t) = \int v(t) \, dt \][/tex]
Dado que [tex]\( v(t) = 5t^2 + 3t \)[/tex]:
[tex]\[ s(t) = \int (5t^2 + 3t) \, dt \][/tex]
La integral de [tex]\( 5t^2 \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 5t^2 \, dt = 5 \frac{t^3}{3} = \frac{5}{3} t^3 \][/tex]
Y la integral de [tex]\( 3t \)[/tex] es:
[tex]\[ \int 3t \, dt = 3 \frac{t^2}{2} = \frac{3}{2} t^2 \][/tex]
Entonces, combinando estas integrales obtenemos:
[tex]\[ s(t) = \frac{5}{3} t^3 + \frac{3}{2} t^2 + C \][/tex]
Dado que la condición inicial es [tex]\( s(0) = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 0 = \frac{5}{3} (0)^3 + \frac{3}{2} (0)^2 + C \implies C = 0 \][/tex]
Por lo tanto, el desplazamiento en cualquier tiempo [tex]\( t \)[/tex] está dado por:
[tex]\[ s(t) = \frac{5}{3} t^3 + \frac{3}{2} t^2 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos:
[tex]\[ s(1.5) = \frac{5}{3} (1.5)^3 + \frac{3}{2} (1.5)^2 \][/tex]
Calculamos [tex]\( (1.5)^3 \)[/tex]:
[tex]\[ (1.5)^3 = 3.375 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ s(1.5) = \frac{5}{3} \times 3.375 + \frac{3}{2} \times 2.25 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5 \times 1.125 + 3 \times 1.125 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 5.625 + 3.375 \][/tex]
[tex]\[ s(1.5) = 9 \ \text{m} \][/tex]
### Resumen de resultados
- La velocidad del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos es de [tex]\( 15.75 \ \text{m/s} \)[/tex].
- El desplazamiento del tren en [tex]\( t = 1.5 \)[/tex] segundos es de [tex]\( 9 \ \text{m} \)[/tex].
Thank you for joining our conversation. Don't hesitate to return anytime to find answers to your questions. Let's continue sharing knowledge and experiences! IDNLearn.com is your source for precise answers. Thank you for visiting, and we look forward to helping you again soon.
