Para decidir cuál opción de inversión es mejor entre las siguientes dos:
a. Colocar [tex]$10,000$[/tex] en una cuenta de ahorro que paga un 6% compuesto semestralmente.
b. Invertir [tex]$10,000$[/tex] en un negocio donde el valor de la inversión en 8 años será de [tex]$16,000.
Sigamos los pasos detallados para calcular la rentabilidad de cada opción.
Opción A: Inversión en una cuenta de ahorro compuesta semestralmente
1. Datos iniciales:
- Inversión inicial (\( P \)) = $[/tex]10,000
- Tasa de interés anual ([tex]\( r \)[/tex]) = 6% = 0.06
- Número de períodos de capitalización por año ([tex]\( n \)[/tex]) = 2 (porque es semestral)
- Número de años ([tex]\( t \)[/tex]) = 8
2. Fórmula para calcular el valor futuro con interés compuesto:
[tex]\[
FV = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}
\][/tex]
3. Sustitución de valores en la fórmula:
[tex]\[
FV = 10,000 \left(1 + \frac{0.06}{2}\right)^{2 \cdot 8}
\][/tex]
4. Cálculo del valor futuro:
[tex]\[
FV = 10,000 \left(1 + 0.03\right)^{16}
\][/tex]
[tex]\[
FV = 10,000 \left(1.03\right)^{16}
\][/tex]
El cálculo de [tex]\( 10,000 \cdot (1.03)^{16} \)[/tex] da aproximadamente [tex]$16,047.064.
Entonces, el valor futuro para la opción A después de 8 años es aproximadamente $[/tex]16,047.064.
Opción B: Inversión en el negocio
La opción B nos dice directamente que la inversión inicial de [tex]$10,000 se convertirá en $[/tex]16,000 en 8 años.
Conclusión:
Comparando los resultados de las dos opciones:
- Opción A: Retorno futuro aproximado de [tex]$16,047.064.
- Opción B: Retorno futuro de $[/tex]16,000.
Dado que [tex]$16,047.064$[/tex] es mayor que $16,000, la opción A (la cuenta de ahorro con interés compuesto) es la mejor elección para maximizar el valor de la inversión después de 8 años.
