IDNLearn.com makes it easy to find accurate answers to your questions. Join our community to receive prompt, thorough responses from knowledgeable experts.
Sagot :
Claro, voy a detallar paso a paso el proceso para resolver este ejercicio de la ecuación de onda [tex]\( y = 12\sin(\pi x - 115\pi t) \)[/tex].
### Parámetros Dado:
[tex]\[ y = 12\sin(\pi x - 115\pi t) \][/tex]
- La amplitud de la onda, [tex]\( A \)[/tex], es el coeficiente que multiplica a la función seno.
### 1. Amplitud
La amplitud, [tex]\( A \)[/tex], es el valor máximo que toma la función seno:
[tex]\[ A = 12 \text{ cm} \][/tex]
### 2. Número de onda
El número de onda, [tex]\( k \)[/tex], está asociado con el término que acompaña a [tex]\( x \)[/tex] dentro del seno:
[tex]\[ k = \pi \][/tex]
### 3. Frecuencia angular
La frecuencia angular, [tex]\( \omega \)[/tex], está asociada con el término que acompaña a [tex]\( t \)[/tex] dentro del seno:
[tex]\[ \omega = 115\pi \][/tex]
### 4. Longitud de onda
La longitud de onda, [tex]\( \lambda \)[/tex], se relaciona con el número de onda mediante la fórmula:
[tex]\[ k = \frac{2\pi}{\lambda} \][/tex]
Despejando [tex]\( \lambda \)[/tex]:
[tex]\[ \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ cm} \][/tex]
### 5. Período
El período, [tex]\( T \)[/tex], se relaciona con la frecuencia angular mediante la fórmula:
[tex]\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \][/tex]
Despejando [tex]\( T \)[/tex]:
[tex]\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{115\pi} = \frac{2}{115} \approx 0.0174 \text{ s} \][/tex]
### 6. Frecuencia
La frecuencia, [tex]\( f \)[/tex], es la inversa del período:
[tex]\[ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.0174} = 57.5 \text{ Hz} \][/tex]
### 7. Velocidad de propagación
La velocidad de propagación, [tex]\( v \)[/tex], de la onda se calcula como el producto de la longitud de onda y la frecuencia:
[tex]\[ v = \lambda \cdot f = 2 \text{ cm} \cdot 57.5 \text{ Hz} = 115 \text{ cm/s} \][/tex]
### 8. Sentido de propagación
Para determinar el sentido de propagación, observamos los términos dentro de la función seno:
- Si está en la forma [tex]\( \sin(kx - \omega t) \)[/tex], la onda se propaga en la dirección positiva del eje [tex]\( x \)[/tex].
En este caso, la ecuación está en la forma:
[tex]\[ \sin(\pi x - 115\pi t) \][/tex]
Por lo tanto, la onda se propaga en la dirección positiva del eje [tex]\( x \)[/tex].
### 9. Ecuación de la partícula en [tex]\( x = 5 \)[/tex]
Sustituimos [tex]\( x = 5 \)[/tex] en la ecuación original:
[tex]\[ y = 12\sin(\pi \cdot 5 - 115\pi t) = 12\sin(5\pi - 115\pi t) = 12\sin(5\pi(1 - 23t)) \][/tex]
Dado que [tex]\( \sin(\theta + 2n\pi) = \sin(\theta) \)[/tex], simplificamos:
[tex]\[ y = 12\sin(15.707963267948966 - 115\pi t) \][/tex]
### 10. Umax
[tex]\( U_{\text{max}} \)[/tex] es simplemente la amplitud de la onda:
[tex]\[ U_{\text{max}} = 12 \text{ cm} \][/tex]
### Resumen
- Amplitud: [tex]\( 12 \text{ cm} \)[/tex]
- Número de onda: [tex]\( \pi \)[/tex]
- Frecuencia angular: [tex]\( 115\pi \)[/tex]
- Longitud de onda: [tex]\( 2 \text{ cm} \)[/tex]
- Período: [tex]\( 0.0174 \text{ s} \)[/tex]
- Frecuencia: [tex]\( 57.5 \text{ Hz} \)[/tex]
- Velocidad: [tex]\( 115 \text{ cm/s} \)[/tex]
- Sentido de propagación: Dirección positiva del eje [tex]\( x \)[/tex]
- Ecuación de la partícula en [tex]\( x = 5 \)[/tex]: [tex]\( y = 12\sin(15.707963267948966 - 115\pi t) \)[/tex]
- [tex]\( U_{\text{max}} \)[/tex]: [tex]\( 12 \)[/tex] cm
Estos valores describen completamente la naturaleza de la onda dada en la ecuación [tex]\( y = 12\sin(\pi x - 115\pi t) \)[/tex].
### Parámetros Dado:
[tex]\[ y = 12\sin(\pi x - 115\pi t) \][/tex]
- La amplitud de la onda, [tex]\( A \)[/tex], es el coeficiente que multiplica a la función seno.
### 1. Amplitud
La amplitud, [tex]\( A \)[/tex], es el valor máximo que toma la función seno:
[tex]\[ A = 12 \text{ cm} \][/tex]
### 2. Número de onda
El número de onda, [tex]\( k \)[/tex], está asociado con el término que acompaña a [tex]\( x \)[/tex] dentro del seno:
[tex]\[ k = \pi \][/tex]
### 3. Frecuencia angular
La frecuencia angular, [tex]\( \omega \)[/tex], está asociada con el término que acompaña a [tex]\( t \)[/tex] dentro del seno:
[tex]\[ \omega = 115\pi \][/tex]
### 4. Longitud de onda
La longitud de onda, [tex]\( \lambda \)[/tex], se relaciona con el número de onda mediante la fórmula:
[tex]\[ k = \frac{2\pi}{\lambda} \][/tex]
Despejando [tex]\( \lambda \)[/tex]:
[tex]\[ \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ cm} \][/tex]
### 5. Período
El período, [tex]\( T \)[/tex], se relaciona con la frecuencia angular mediante la fórmula:
[tex]\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \][/tex]
Despejando [tex]\( T \)[/tex]:
[tex]\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{115\pi} = \frac{2}{115} \approx 0.0174 \text{ s} \][/tex]
### 6. Frecuencia
La frecuencia, [tex]\( f \)[/tex], es la inversa del período:
[tex]\[ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.0174} = 57.5 \text{ Hz} \][/tex]
### 7. Velocidad de propagación
La velocidad de propagación, [tex]\( v \)[/tex], de la onda se calcula como el producto de la longitud de onda y la frecuencia:
[tex]\[ v = \lambda \cdot f = 2 \text{ cm} \cdot 57.5 \text{ Hz} = 115 \text{ cm/s} \][/tex]
### 8. Sentido de propagación
Para determinar el sentido de propagación, observamos los términos dentro de la función seno:
- Si está en la forma [tex]\( \sin(kx - \omega t) \)[/tex], la onda se propaga en la dirección positiva del eje [tex]\( x \)[/tex].
En este caso, la ecuación está en la forma:
[tex]\[ \sin(\pi x - 115\pi t) \][/tex]
Por lo tanto, la onda se propaga en la dirección positiva del eje [tex]\( x \)[/tex].
### 9. Ecuación de la partícula en [tex]\( x = 5 \)[/tex]
Sustituimos [tex]\( x = 5 \)[/tex] en la ecuación original:
[tex]\[ y = 12\sin(\pi \cdot 5 - 115\pi t) = 12\sin(5\pi - 115\pi t) = 12\sin(5\pi(1 - 23t)) \][/tex]
Dado que [tex]\( \sin(\theta + 2n\pi) = \sin(\theta) \)[/tex], simplificamos:
[tex]\[ y = 12\sin(15.707963267948966 - 115\pi t) \][/tex]
### 10. Umax
[tex]\( U_{\text{max}} \)[/tex] es simplemente la amplitud de la onda:
[tex]\[ U_{\text{max}} = 12 \text{ cm} \][/tex]
### Resumen
- Amplitud: [tex]\( 12 \text{ cm} \)[/tex]
- Número de onda: [tex]\( \pi \)[/tex]
- Frecuencia angular: [tex]\( 115\pi \)[/tex]
- Longitud de onda: [tex]\( 2 \text{ cm} \)[/tex]
- Período: [tex]\( 0.0174 \text{ s} \)[/tex]
- Frecuencia: [tex]\( 57.5 \text{ Hz} \)[/tex]
- Velocidad: [tex]\( 115 \text{ cm/s} \)[/tex]
- Sentido de propagación: Dirección positiva del eje [tex]\( x \)[/tex]
- Ecuación de la partícula en [tex]\( x = 5 \)[/tex]: [tex]\( y = 12\sin(15.707963267948966 - 115\pi t) \)[/tex]
- [tex]\( U_{\text{max}} \)[/tex]: [tex]\( 12 \)[/tex] cm
Estos valores describen completamente la naturaleza de la onda dada en la ecuación [tex]\( y = 12\sin(\pi x - 115\pi t) \)[/tex].
We greatly appreciate every question and answer you provide. Keep engaging and finding the best solutions. This community is the perfect place to learn and grow together. IDNLearn.com is your reliable source for answers. We appreciate your visit and look forward to assisting you again soon.
