Para resolver el problema, comenzaremos determinando cada conjunto por separado y luego calcularemos la cantidad de elementos en cada uno para obtener [tex]\( n(A) + n(B) \)[/tex].
1. Encontrar el conjunto [tex]\( A \)[/tex]:
- El conjunto [tex]\( A \)[/tex] se describe como:
[tex]\[
A = \left\{\left(\frac{x}{2}\right) \in \mathbb{N} \mid x > 5 \Rightarrow x = 8\right\}
\][/tex]
- Dado que [tex]\( x > 5 \)[/tex] se satisface con el valor [tex]\( x = 8 \)[/tex], calculamos:
[tex]\[
\frac{8}{2} = 4
\][/tex]
- Por lo tanto, el conjunto [tex]\( A \)[/tex] contiene el elemento 4:
[tex]\[
A = \{4\}
\][/tex]
- La cantidad de elementos en [tex]\( A \)[/tex] es:
[tex]\[
n(A) = 1
\][/tex]
2. Encontrar el conjunto [tex]\( B \)[/tex]:
- El conjunto [tex]\( B \)[/tex] se describe como:
[tex]\[
B = \left\{\left(\frac{2x+1}{3}\right) \in \mathbb{N} \mid x < [n(A)]^2\right\}
\][/tex]
- Ya sabemos que [tex]\( n(A) = 1 \)[/tex], entonces:
[tex]\[
[n(A)]^2 = 1^2 = 1
\][/tex]
- Esto significa que [tex]\( x \)[/tex] debe ser menor que 1, y el único valor posible para [tex]\( x \)[/tex] es:
[tex]\[
x = 0
\][/tex]
- Sustituimos [tex]\( x = 0 \)[/tex] en la expresión para ver si se cumple:
[tex]\[
\frac{2 \cdot 0 + 1}{3} = \frac{1}{3}
\][/tex]
- La expresión [tex]\( \frac{1}{3} \)[/tex] no pertenece al conjunto de los números naturales [tex]\( \mathbb{N} \)[/tex]. Por lo tanto, no hay valores de [tex]\( x \)[/tex] que cumplan con las condiciones.
- En consecuencia, el conjunto [tex]\( B \)[/tex] está vacío:
[tex]\[
B = \{\}
\][/tex]
- La cantidad de elementos en [tex]\( B \)[/tex] es:
[tex]\[
n(B) = 0
\][/tex]
3. Calcular [tex]\( n(A) + n(B) \)[/tex]:
- Sumamos las cantidades de elementos de los conjuntos [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( B \)[/tex]:
[tex]\[
n(A) + n(B) = 1 + 0 = 1
\][/tex]
La respuesta correcta es [tex]\(\boxed{1}\)[/tex] pero no se encuentra en las opciones suministradas. Es posible que exista un error en las alternativas proporcionadas.
