Vamos a utilizar la división sintética para dividir el polinomio [tex]\(-\left(2x^4 - 5x^3 - 14x^2 - 37x - 30\right) \div (x - 2)\)[/tex].
### Paso 1: Ajustar los coeficientes y el divisor
Primero, ajustamos el polinomio [tex]\(-\left(2x^4 - 5x^3 - 14x^2 - 37x - 30\right)\)[/tex]. Esto da como resultado los coeficientes: [tex]\([-2, 5, 14, 37, 30]\)[/tex].
### Paso 2: Configurar la división sintética
Para la división sintética, tomamos el divisor [tex]\(x - 2\)[/tex]. El valor que utilizamos es [tex]\(2\)[/tex].
### Paso 3: Realizar la división sintética
1. Escribimos los coeficientes del polinomio: [tex]\([-2, 5, 14, 37, 30]\)[/tex].
2. A la izquierda, escribimos el divisor [tex]\(2\)[/tex].
3. Bajamos el primer coeficiente:
- Bajamos [tex]\(-2\)[/tex].
4. Multiplicamos el valor bajado por el divisor y sumamos al siguiente coeficiente:
- [tex]\(-2 \times 2 = -4\)[/tex], sumamos este valor al siguiente coeficiente [tex]\(5\)[/tex]: [tex]\(5 + (-4) = 1\)[/tex].
5. Repetimos el mismo proceso:
- [tex]\(1 \times 2 = 2\)[/tex], sumamos al siguiente coeficiente [tex]\(14\)[/tex]: [tex]\(14 + 2 = 16\)[/tex].
- [tex]\(16 \times 2 = 32\)[/tex], sumamos al siguiente coeficiente [tex]\(37\)[/tex]: [tex]\(37 + 32 = 69\)[/tex].
- [tex]\(69 \times 2 = 138\)[/tex], sumamos al siguiente coeficiente [tex]\(30\)[/tex]: [tex]\(30 + 138 = 168\)[/tex].
### Paso 4: Resultado de la división sintética
Después de completar la división sintética, obtenemos los coeficientes del polinomio resultante y el residuo:
- Los coeficientes del polinomio resultante son: [tex]\([-2, 1, 16, 69]\)[/tex].
- El residuo es [tex]\(168\)[/tex].
### Paso 5: Escribir el polinomio restante
El polinomio restante, después de dividir, es:
[tex]\[ -2x^3 + 1x^2 + 16x + 69 \][/tex]
y el residuo es [tex]\(168\)[/tex].
