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Sagot :
¡Por supuesto! A continuación realizamos la solución paso a paso.
### Paso 1: Calcular las Marcas de Clase
Las marcas de clase (o puntos medios de los intervalos) se calculan como el promedio entre los límites de cada intervalo.
- Para el intervalo [tex]\(15-20\)[/tex]: [tex]\((15 + 20) / 2 = 17.5\)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\(20-25\)[/tex]: [tex]\((20 + 25) / 2 = 22.5\)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\(25-30\)[/tex]: [tex]\((25 + 30) / 2 = 27.5\)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\(30-35\)[/tex]: [tex]\((30 + 35) / 2 = 32.5\)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\(35-40\)[/tex]: [tex]\((35 + 40) / 2 = 37.5\)[/tex]
### Paso 2: Crear la Tabla Completa
Llenamos la tabla con las marcas de clase calculadas:
[tex]\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Intervalo} & \text{Frecuencia} & \text{Marca de Clase} \\ \hline 15-20 & 8 & 17.5 \\ \hline 20-25 & 5 & 22.5 \\ \hline 25-30 & 4 & 27.5 \\ \hline 30-35 & 3 & 32.5 \\ \hline 35-40 & 4 & 37.5 \\ \hline \end{array} \][/tex]
### Paso 3: Cálculo de Medidas de Tendencia Central
#### Media Aritmética
La media para datos agrupados se calcula como:
[tex]\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \][/tex]
Donde [tex]\(f_i\)[/tex] es la frecuencia de cada intervalo y [tex]\(x_i\)[/tex] es la marca de clase correspondiente.
[tex]\[ \bar{x} = \frac{(8 \cdot 17.5) + (5 \cdot 22.5) + (4 \cdot 27.5) + (3 \cdot 32.5) + (4 \cdot 37.5)}{8 + 5 + 4 + 3 + 4} \][/tex]
Calculamos los productos y la suma de frecuencias:
[tex]\[ = \frac{140 + 112.5 + 110 + 97.5 + 150}{24} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{610}{24} \approx 25.42 \][/tex]
#### Varianza y Desviación Estándar
La varianza para datos agrupados se calcula como:
[tex]\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \][/tex]
Primero, necesitamos calcular los cuadrados de las diferencias ([tex]\(x_i - \bar{x}\)[/tex])^2 y luego multiplicarlos por las frecuencias:
[tex]\[ \sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 8(17.5 - 25.42)^2 + 5(22.5 - 25.42)^2 + 4(27.5 - 25.42)^2 + 3(32.5 - 25.42)^2 + 4(37.5 - 25.42)^2 \][/tex]
Calculamos cada término individualmente:
[tex]\[ = 8(7.92)^2 + 5(2.92)^2 + 4(2.08)^2 + 3(7.08)^2 + 4(12.08)^2 \][/tex]
[tex]\[ = 8(62.7264) + 5(8.5264) + 4(4.3264) + 3(50.1264) + 4(145.9324) \][/tex]
[tex]\[ = 501.8112 + 42.632 + 17.3056 + 150.3792 + 583.7296 \][/tex]
[tex]\[ = 1295.8576 \][/tex]
Finalmente dividimos entre la suma de frecuencias:
[tex]\[ \sigma^2 = \frac{1295.8576}{24} \approx 54.8274 \][/tex]
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
[tex]\[ \sigma \approx \sqrt{54.8274} \approx 7.41 \][/tex]
### Paso 4: Crear el Histograma
Para crear un histograma, graficamos los intervalos en el eje [tex]\(x\)[/tex] y las frecuencias en el eje [tex]\(y\)[/tex]. Los intervalos especificados son: 15-20, 20-25, 25-30, 30-35, 35-40, y sus respectivas frecuencias son: 8, 5, 4, 3, 4.
#### Conclusiones:
1. Marca de clase para cada intervalo:
- 15-20: 17.5
- 20-25: 22.5
- 25-30: 27.5
- 30-35: 32.5
- 35-40: 37.5
2. Medidas de tendencia central:
- Media: 25.42
- Varianza: 54.83
- Desviación estándar: 7.41
Este conjunto de cálculos permite obtener las principales medidas de tendencia central y observar la distribución de los datos a través del histograma.
### Paso 1: Calcular las Marcas de Clase
Las marcas de clase (o puntos medios de los intervalos) se calculan como el promedio entre los límites de cada intervalo.
- Para el intervalo [tex]\(15-20\)[/tex]: [tex]\((15 + 20) / 2 = 17.5\)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\(20-25\)[/tex]: [tex]\((20 + 25) / 2 = 22.5\)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\(25-30\)[/tex]: [tex]\((25 + 30) / 2 = 27.5\)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\(30-35\)[/tex]: [tex]\((30 + 35) / 2 = 32.5\)[/tex]
- Para el intervalo [tex]\(35-40\)[/tex]: [tex]\((35 + 40) / 2 = 37.5\)[/tex]
### Paso 2: Crear la Tabla Completa
Llenamos la tabla con las marcas de clase calculadas:
[tex]\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Intervalo} & \text{Frecuencia} & \text{Marca de Clase} \\ \hline 15-20 & 8 & 17.5 \\ \hline 20-25 & 5 & 22.5 \\ \hline 25-30 & 4 & 27.5 \\ \hline 30-35 & 3 & 32.5 \\ \hline 35-40 & 4 & 37.5 \\ \hline \end{array} \][/tex]
### Paso 3: Cálculo de Medidas de Tendencia Central
#### Media Aritmética
La media para datos agrupados se calcula como:
[tex]\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \][/tex]
Donde [tex]\(f_i\)[/tex] es la frecuencia de cada intervalo y [tex]\(x_i\)[/tex] es la marca de clase correspondiente.
[tex]\[ \bar{x} = \frac{(8 \cdot 17.5) + (5 \cdot 22.5) + (4 \cdot 27.5) + (3 \cdot 32.5) + (4 \cdot 37.5)}{8 + 5 + 4 + 3 + 4} \][/tex]
Calculamos los productos y la suma de frecuencias:
[tex]\[ = \frac{140 + 112.5 + 110 + 97.5 + 150}{24} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{610}{24} \approx 25.42 \][/tex]
#### Varianza y Desviación Estándar
La varianza para datos agrupados se calcula como:
[tex]\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \][/tex]
Primero, necesitamos calcular los cuadrados de las diferencias ([tex]\(x_i - \bar{x}\)[/tex])^2 y luego multiplicarlos por las frecuencias:
[tex]\[ \sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 8(17.5 - 25.42)^2 + 5(22.5 - 25.42)^2 + 4(27.5 - 25.42)^2 + 3(32.5 - 25.42)^2 + 4(37.5 - 25.42)^2 \][/tex]
Calculamos cada término individualmente:
[tex]\[ = 8(7.92)^2 + 5(2.92)^2 + 4(2.08)^2 + 3(7.08)^2 + 4(12.08)^2 \][/tex]
[tex]\[ = 8(62.7264) + 5(8.5264) + 4(4.3264) + 3(50.1264) + 4(145.9324) \][/tex]
[tex]\[ = 501.8112 + 42.632 + 17.3056 + 150.3792 + 583.7296 \][/tex]
[tex]\[ = 1295.8576 \][/tex]
Finalmente dividimos entre la suma de frecuencias:
[tex]\[ \sigma^2 = \frac{1295.8576}{24} \approx 54.8274 \][/tex]
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
[tex]\[ \sigma \approx \sqrt{54.8274} \approx 7.41 \][/tex]
### Paso 4: Crear el Histograma
Para crear un histograma, graficamos los intervalos en el eje [tex]\(x\)[/tex] y las frecuencias en el eje [tex]\(y\)[/tex]. Los intervalos especificados son: 15-20, 20-25, 25-30, 30-35, 35-40, y sus respectivas frecuencias son: 8, 5, 4, 3, 4.
#### Conclusiones:
1. Marca de clase para cada intervalo:
- 15-20: 17.5
- 20-25: 22.5
- 25-30: 27.5
- 30-35: 32.5
- 35-40: 37.5
2. Medidas de tendencia central:
- Media: 25.42
- Varianza: 54.83
- Desviación estándar: 7.41
Este conjunto de cálculos permite obtener las principales medidas de tendencia central y observar la distribución de los datos a través del histograma.
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