Para resolver la desigualdad:
[tex]\[ \frac{2 x+1}{3}+\frac{5 x-1}{4} \geq 2 x-1+\frac{3 x-1}{2} \][/tex]
Vamos a seguir los siguientes pasos:
### Paso 1: Encontrar un denominador común
Para sumar todas las fracciones en la inequación, primero necesitamos encontrar un denominador común. Los denominadores son 3, 4 y 2. El mínimo común múltiplo (mcm) de estos números es 12.
### Paso 2: Reescribir cada fracción con el denominador común
Reescribimos cada fracción con denominador 12:
[tex]\[ \frac{2x + 1}{3} = \frac{4(2x + 1)}{12} = \frac{8x + 4}{12} \][/tex]
[tex]\[ \frac{5x - 1}{4} = \frac{3(5x - 1)}{12} = \frac{15x - 3}{12} \][/tex]
[tex]\[ \frac{3x - 1}{2} = \frac{6(3x - 1)}{12} = \frac{9x - 3}{12} \][/tex]
La inequación entonces se convierte en:
[tex]\[ \frac{8x + 4}{12} + \frac{15x - 3}{12} \geq 2x - 1 + \frac{9x - 3}{12} \][/tex]
### Paso 3: Combinar fracciones y simplificar
Sumamos las fracciones en el lado izquierdo:
[tex]\[ \frac{(8x + 4) + (15x - 3)}{12} = \frac{23x + 1}{12} \][/tex]
Entonces la inequación se convierte en:
[tex]\[ \frac{23x + 1}{12} \geq 2x - 1 + \frac{9x - 3}{12} \][/tex]
### Paso 4: Llevar todo a un solo denominador para simplificar
Primero reescribimos el término en el lado derecho con denominador 12:
[tex]\[ 2x - 1 = \frac{24x - 12}{12} \][/tex]
Entonces tendremos:
[tex]\[ \frac{23x + 1}{12} \geq \frac{24x - 12}{12} + \frac{9x - 3}{12} \][/tex]
Sumamos el lado derecho:
[tex]\[ \frac{23x + 1}{12} \geq \frac{24x - 12 + 9x - 3}{12} = \frac{33x - 15}{12} \][/tex]
### Paso 5: Eliminar el denominador común
Multiplicamos ambos lados de la inequación por 12 para eliminar el denominador:
[tex]\[ 23x + 1 \geq 33x - 15 \][/tex]
### Paso 6: Resolver la desigualdad lineal
Restamos 23x de ambos lados para simplificar:
[tex]\[ 1 \geq 10x - 15 \][/tex]
Sumamos 15 a ambos lados:
[tex]\[ 16 \geq 10x \][/tex]
Dividimos ambos lados entre 10:
[tex]\[ \frac{16}{10} \geq x \][/tex]
Simplificamos la fracción:
[tex]\[ \frac{8}{5} \geq x \][/tex]
### Solución final:
El conjunto solución es:
[tex]\[ x \leq \frac{8}{5} \][/tex]
O en notación de intervalo:
[tex]\[ (-\infty, \frac{8}{5}] \][/tex]
