Claro, vamos a resolver cada uno de los problemas paso a paso y escribir cada uno como una sola potencia o calcular el resultado específico de las potencias indicadas.
1. Simplificación de [tex]$\left(5^2\right)^4 \cdot 5^{2 \times 4}$[/tex]:
[tex]\[
\left(5^2\right)^4 \cdot 5^{8} = 5^{2 \times 4} \cdot 5^8 = 5^8 \cdot 5^8 = 5^{8+8} = 5^{16}
\][/tex]
Resultado simplificado: [tex]\(5^{16} = 390625\)[/tex].
2. Simplificación de [tex]$9^2 \cdot 9^3$[/tex]:
[tex]\[
9^2 \cdot 9^3 = 9^{2+3} = 9^5
\][/tex]
Resultado simplificado: [tex]\(9^5 = 59049\)[/tex].
3. Simplificación de [tex]$\left[(-4)^5\right]^4$[/tex]:
[tex]\[
\left[(-4)^5\right]^4 = (-4)^{5 \cdot 4} = (-4)^{20}
\][/tex]
Resultado simplificado: [tex]\((-4)^{20} = 1099511627776\)[/tex].
4. Simplificación de [tex]$(-5)^4 \cdot (-5)^3 \cdot (-5)^2$[/tex]:
[tex]\[
(-5)^4 \cdot (-5)^3 \cdot (-5)^2 = (-5)^{4+3+2} = (-5)^9
\][/tex]
Resultado simplificado: [tex]\((-5)^9 = -1953125\)[/tex].
5. Simplificación de [tex]$\left[(-1)^{10}\right]^3$[/tex]:
[tex]\[
\left[(-1)^{10}\right]^3 = (-1)^{10 \cdot 3} = (-1)^{30}
\][/tex]
Resultado simplificado: [tex]\((-1)^{30} = 1\)[/tex].
6. Simplificación de [tex]$(-6)^3 \cdot (-6)^2 \cdot (-6)^4$[/tex]:
[tex]\[
(-6)^3 \cdot (-6)^2 \cdot (-6)^4 = (-6)^{3+2+4} = (-6)^9
\][/tex]
Resultado simplificado: [tex]\((-6)^9 = -10077696\)[/tex].
7. Simplificación de [tex]$\left[(9)^{20}\right]^5$[/tex]:
[tex]\[
\left[(9)^{20}\right]^5 = 9^{20 \cdot 5} = 9^{100}
\][/tex]
Resultado simplificado: [tex]\(9^{100} = 265613988875874769338781322035779626829233452653394495974574961739092490901302182994384699044001\)[/tex].
8. Simplificación de [tex]$\left[(-1)^{10} \div (-1)^2\right] \cdot (-1)^5$[/tex]:
[tex]\[
\left[(-1)^{10} \div (-1)^2\right] \cdot (-1)^5 = (-1)^{10-2} \cdot (-1)^5 = (-1)^8 \cdot (-1)^5 = (-1)^{8+5} = (-1)^{13}
\][/tex]
Resultado simplificado: [tex]\((-1)^{13} = -1\)[/tex].
9. Simplificación de [tex]$(20)^{80} \div \left[(20)^2 \cdot (20)^{18}\right]$[/tex]:
[tex]\[
(20)^{80} \div \left[(20)^2 \cdot (20)^{18}\right] = (20)^{80} \div (20)^{2+18} = (20)^{80} \div (20)^{20} = (20)^{80-20} = (20)^{60}
\][/tex]
Resultado simplificado: [tex]\((20)^{60} = 1152921504606846976000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\)[/tex].
10. Cálculo de la potencia [tex]$-4^2$[/tex]:
[tex]\[
-4^2 = -(4^2) = -16
\][/tex]
Resultado: [tex]\(-16\)[/tex].
11. Cálculo de la potencia [tex]$-(1^1)$[/tex]:
[tex]\[
-(1^1) = -(1) = -1
\][/tex]
Resultado: [tex]\(-1\)[/tex].
