Para determinar cuál de las expresiones dadas representa el área de un cuadrado, primero recordemos que el área de un cuadrado se calcula usando la fórmula [tex]\( A = \text{lado}^2 \)[/tex].
Consideremos cada una de las opciones proporcionadas:
a. [tex]\( 4x + 12 \)[/tex]
Esta expresión es un binomio lineal y no puede representar el área de un cuadrado, ya que el área debe ser una función cuadrática, es decir, de la forma [tex]\( \text{algo}^2 \)[/tex].
b. [tex]\( x^2 + 6x + 6 \)[/tex]
Aunque esta expresión es una función cuadrática, no parece factorizable de manera que represente un valor exacto de un cuadrado.
c. [tex]\( x^2 + 3x + 9 \)[/tex]
Al igual que en el caso anterior, aunque es una función cuadrática, no parece que se pueda factorizar para representar directamente las dimensiones de un cuadrado.
d. [tex]\( x^2 + 6x + 9 \)[/tex]
Esta expresión se puede factorizar de la siguiente manera:
[tex]\[ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \][/tex]
Así, la expresión [tex]\( (x + 3)^2 \)[/tex] representa un cuadrado con lado [tex]\( x + 3 \)[/tex], lo cual nos indica que sí corresponde a un cuadrado.
Por lo tanto, la opción correcta que representa el área del cuadrado es:
d. [tex]\( x^2 + 6x + 9 \)[/tex]
Después de verificar y razonar cada opción, determinamos que la expresión que representa correctamente el área del cuadrado es la opción d.
