Para resolver este problema, necesitamos encontrar el valor de la función tangente ([tex]\(\operatorname{tg} \theta\)[/tex]) para un punto [tex]\( P(\theta) \)[/tex] dado en la circunferencia unitaria.
Paso 1: Identificar las coordenadas del punto [tex]\( P(\theta) \)[/tex]
Se nos da que el punto [tex]\( P(\theta) \)[/tex] tiene las coordenadas [tex]\(\left( \frac{4}{\sqrt{17}}, \frac{1}{\sqrt{17}} \right)\)[/tex].
Paso 2: Recordar la definición de la función tangente
Por definición, la tangente de un ángulo [tex]\(\theta\)[/tex] en el círculo unitario se calcula como el cociente entre la coordenada [tex]\( y \)[/tex] y la coordenada [tex]\( x \)[/tex] de ese punto:
[tex]\[
\operatorname{tg} \theta = \frac{y}{x}
\][/tex]
Paso 3: Sustituir las coordenadas del punto [tex]\( P(\theta) \)[/tex]
Las coordenadas [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex] de [tex]\( P(\theta) \)[/tex] son:
[tex]\[
x = \frac{4}{\sqrt{17}}
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{1}{\sqrt{17}}
\][/tex]
Sustituimos estas coordinadas en la ecuación de la tangente:
[tex]\[
\operatorname{tg} \theta = \frac{\frac{1}{\sqrt{17}}}{\frac{4}{\sqrt{17}}}
\][/tex]
Paso 4: Simplificar la expresión
Podemos simplificar esta fracción:
[tex]\[
\operatorname{tg} \theta = \frac{1 / \sqrt{17}}{4 / \sqrt{17}} = \frac{1 / \sqrt{17}}{\frac{4}{\sqrt{17}}} = \frac{1}{4}
\][/tex]
Por lo tanto, el valor exacto de [tex]\(\operatorname{tg} \theta\)[/tex] es:
[tex]\[
\operatorname{tg} \theta = \frac{1}{4}
\][/tex]
Conclusión
La respuesta correcta es:
B) [tex]\(\frac{1}{4}\)[/tex]
