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Um subconjunto de [tex]A \times A[/tex] pode ser chamado simplesmente de relação binária em [tex]A[/tex]. Suponha que [tex]R[/tex] é uma relação de [tex]A[/tex] para [tex]B[/tex]. Então [tex]R[/tex] é um conjunto de pares ordenados onde cada primeiro elemento pertence a [tex]A[/tex] e cada segundo elemento pertence a [tex]B[/tex]. Isto é, para cada par [tex](a, b)[/tex], [tex]a \in A[/tex] e [tex]b \in B[/tex]. Sejam [tex]A=\{1,4,9\}[/tex] e [tex]B=\{-2,2,3\}[/tex]. A representação por extensão da relação [tex]R_2=\left\{(x, y) \in A \times B / y^2=x\right\}[/tex].

a. [tex]\{(-2,4),(2,4),(9,3)\}[/tex]

b. [tex]\{(-2,2),(1,2),(3,9)\}[/tex]

c. [tex]\{(-2,1),(1,2),(3,9)\}[/tex]

d. [tex]\{(1,-2),(4,2),(9,3)\}[/tex]

e. [tex]\{(4,2),(4,-2),(9,3)\}[/tex]

Sagot :

GinnyAnsweridn
Vamos aprofundar na resolução deste problema matemático.

Assuma que temos dois conjuntos:
- [tex]\( A = \{1, 4, 9\} \)[/tex]
- [tex]\( B = \{-2, 2, 3\} \)[/tex]

Precisamos encontrar a relação [tex]\( R \)[/tex] entre os conjuntos [tex]\( A \)[/tex] e [tex]\( B \)[/tex] tal que [tex]\( y^2 = x \)[/tex], onde [tex]\( x \)[/tex] pertence a [tex]\( A \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex] pertence a [tex]\( B \)[/tex].

Vamos analisar cada combinação de [tex]\( x \)[/tex] em [tex]\( A \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex] em [tex]\( B \)[/tex] para verificar quais satisfazem a condição [tex]\( y^2 = x \)[/tex]:

1. Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
- [tex]\( y = -2 \)[/tex]: [tex]\((-2)^2 = 4\neq 1\)[/tex]
- [tex]\( y = 2 \)[/tex]: [tex]\( 2^2 = 4 \ne 1\)[/tex]
- [tex]\( y = 3 \)[/tex]: [tex]\( 3^2 = 9 \ne 1 \)[/tex]
- Nenhum valor de [tex]\( y \)[/tex] em [tex]\( B \)[/tex] satisfaz [tex]\( y^2 = 1 \)[/tex].

2. Para [tex]\( x = 4 \)[/tex]:
- [tex]\( y = -2 \)[/tex]: [tex]\((-2)^2 = 4\)[/tex]
- [tex]\( y = 2 \)[/tex]: [tex]\( 2^2 = 4\)[/tex]
- [tex]\( y = 3 \)[/tex]: [tex]\( 3^2 = 9 \ne 4\)[/tex]
- Os valores de [tex]\( y \)[/tex], [tex]\(-2\)[/tex] e [tex]\(2\)[/tex], satisfazem [tex]\( y^2 = 4 \)[/tex]. Então os pares ordenados [tex]\((-2, 4)\)[/tex] e [tex]\((2, 4)\)[/tex] pertencem a [tex]\( R \)[/tex].

3. Para [tex]\( x = 9 \)[/tex]:
- [tex]\( y = -2 \)[/tex]: [tex]\((-2)^2 = 4 \ne 9\)[/tex]
- [tex]\( y = 2 \)[/tex]: [tex]\( 2^2 = 4 \ne 9\)[/tex]
- [tex]\( y = 3 \)[/tex]: [tex]\( 3^2 = 9\)[/tex]
- O valor de [tex]\( y = 3 \)[/tex] satisfaz [tex]\( y^2 = 9 \)[/tex]. Então o par ordenado [tex]\((3, 9)\)[/tex] pertence a [tex]\( R \)[/tex].

A partir dessa análise, podemos ver que a relação [tex]\( R \)[/tex] que satisfaz a condição [tex]\( y^2 = x \)[/tex] é:

[tex]\[ R = \{( -2, 4 ), ( 2, 4 ), ( 3, 9 )\} \][/tex]

Agora, vamos comparar esta relação com as opções fornecidas:

a. [tex]\( \{(-2,4), (2,4), (9,3)\} \)[/tex] - Não corresponde a [tex]\( (9,3) \)[/tex].

b. [tex]\( \{(-2,2), (1,2), (3,9)\} \)[/tex] - Não corresponde a [tex]\( y^2 = x \)[/tex].

c. [tex]\( \{(-2,1), (1,2), (3,9)\} \)[/tex] - Não corresponde a [tex]\( y^2 = x \)[/tex].

d. [tex]\( \{(1,-2), (4,2), (9,3)\} \)[/tex] - A ordem dos pares não está correta e não corresponde a [tex]\( y^2 = x \)[/tex].

e. [tex]\( \{(4,2), (4,-2), (9,3)\} \)[/tex] - As ordens podem parecer diferentes, mas é equivalente a nossa relação desejada [tex]\(((2, 4), (-2, 4), (3, 9))\)[/tex].

Portanto, a resposta correta é a opção (e):

[tex]\[ \boxed{\{(4,2), (4,-2), (9,3)\}} \][/tex]
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