Para resolver esta pregunta, debemos entender bien la relación entre el dividendo \( D \), el divisor \( d \), el cociente \( Q \) y el residuo \( R \) en una división.
La fórmula dada es:
[tex]\[ D = dQ + R \][/tex]
Donde:
- \( D \) es el dividendo
- \( d \) es el divisor
- \( Q \) es el cociente
- \( R \) es el residuo
Para que la fórmula de división \( D = dQ + R \) sea correcta, el residuo \( R \) debe tener una propiedad muy particular respecto al divisor \( d \):
Propiedad del residuo:
El residuo \( R \) debe ser siempre menor que el divisor \( d \) para que la división no dé lugar a una parte entera adicional en el cociente \( Q \).
Si \( R \) fuera igual o mayor que \( d \), \( R \) podría ser dividido por \( d \) nuevamente, y entonces \( Q \) podría incrementarse y la expresión original \( D = dQ + R \) cambiaría.
Vamos a evaluar las opciones dadas una a una:
A) \( d < R \): Esto no es correcto, ya que si \( R \) fuera mayor o igual que \( d \), nos llevaría a que \( R \) se puede seguir dividiendo por \( d \), lo cual no cumple la propiedad de un residuo.
B) \( d > D \): Esto tampoco es correcto, ya que esta condición no tiene una relación directa con la expresión \( D = dQ + R \). Además, el dividendo \( D \) puede ser cualquier número más grande que \( d \).
C) \( Q < R \): Esta opción no tiene sentido en el contexto de la relación matemática establecida por la división. \( Q \) es el cociente entero y no debe ser comparado directamente con el residuo \( R \).
D) \( R < d \): Esta es la opción correcta, ya que un residuo siempre debe ser menor que el divisor, de modo que no se pueda seguir dividiendo por el divisor y ajustar el cociente.
E) \( R = d \): Esto no es posible en una división adecuada con un resto positivo; si \( R \) fuera igual a \( d \), significaría que \( dQ + d \) podría simplificarse incrementando el cociente.
Por lo tanto, la opción correcta es:
[tex]\[ \boxed{D) \; R < d} \][/tex]
