Claro, vamos a resolver la derivada de la expresión \( x^3 + 3x^2y - xy^2 + y^3 \) respecto a \( x \) y a \( y \).
Primero, diferenciamos la expresión con respecto a \( x \):
1. La derivada de \( x^3 \) con respecto a \( x \) es \( 3x^2 \).
2. La derivada de \( 3x^2y \) con respecto a \( x \) es \( 3 \cdot 2x \cdot y = 6xy \) (tratamos \( y \) como constante al diferenciar con respecto a \( x \)).
3. La derivada de \( -xy^2 \) con respecto a \( x \) es \( -y^2 \) (tratamos \( y^2 \) como constante).
4. La derivada de \( y^3 \) con respecto a \( x \) es 0 (ya que \( y^3 \) no depende de \( x \)).
Sumamos todas estas derivadas parciales:
[tex]\[ 3x^2 + 6xy - y^2 \][/tex]
Luego, diferenciamos la expresión con respecto a \( y \):
1. La derivada de \( x^3 \) con respecto a \( y \) es 0 (ya que \( x^3 \) no depende de \( y \)).
2. La derivada de \( 3x^2y \) con respecto a \( y \) es \( 3x^2 \) (tratamos \( x^2 \) como constante).
3. La derivada de \( -xy^2 \) con respecto a \( y \) es \( -x \cdot 2y = -2xy \).
4. La derivada de \( y^3 \) con respecto a \( y \) es \( 3y^2 \).
Sumamos todas estas derivadas parciales:
[tex]\[ 3x^2 - 2xy + 3y^2 \][/tex]
Por lo tanto, las derivadas de la expresión \( x^3 + 3x^2y - xy^2 + y^3 \) son:
[tex]\[ \frac{\partial}{\partial x}(x^3 + 3x^2y - xy^2 + y^3) = 3x^2 + 6xy - y^2 \][/tex]
y
[tex]\[ \frac{\partial}{\partial y}(x^3 + 3x^2y - xy^2 + y^3) = 3x^2 - 2xy + 3y^2 \][/tex]
Estas son las derivadas parciales con respecto a [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex], respectivamente.
