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Sagot :
Para que dos rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a -1. Vamos a determinar la pendiente de cada una de las rectas y luego encontraremos el valor de \( k \) que cumple esta condición.
### Paso 1: Encontrar la pendiente de la segunda recta
La ecuación de la segunda recta es:
[tex]\[ 3x - 2y - 11 = 0 \][/tex]
Para encontrar la pendiente (m) de la recta, reescribimos la ecuación en la forma \( y = mx + b \):
[tex]\[ 3x - 2y = 11 \][/tex]
[tex]\[ -2y = -3x + 11 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{3}{2}x - \frac{11}{2} \][/tex]
La pendiente de esta recta es:
[tex]\[ m_2 = \frac{3}{2} \][/tex]
### Paso 2: Encontrar la pendiente de la primera recta en términos de \( k \)
La ecuación de la primera recta es:
[tex]\[ k^2 x + (k + 1) y + 3 = 0 \][/tex]
De nuevo, reescribimos esta ecuación en la forma \( y = mx + b \):
[tex]\[ (k + 1)y = -k^2 x - 3 \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{k^2}{k+1}x - \frac{3}{k+1} \][/tex]
La pendiente de esta recta es:
[tex]\[ m_1 = -\frac{k^2}{k + 1} \][/tex]
### Paso 3: Establecer la condición de perpendicularidad
Para que las rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a -1:
[tex]\[ m_1 \cdot m_2 = -1 \][/tex]
Sustituyendo los valores de \( m_1 \) y \( m_2 \):
[tex]\[ \left( -\frac{k^2}{k + 1} \right) \cdot \frac{3}{2} = -1 \][/tex]
### Paso 4: Resolver la ecuación
Simplificamos la ecuación para encontrar \( k \):
[tex]\[ -\frac{3k^2}{2(k + 1)} = -1 \][/tex]
[tex]\[ \frac{3k^2}{2(k + 1)} = 1 \][/tex]
[tex]\[ 3k^2 = 2(k + 1) \][/tex]
[tex]\[ 3k^2 = 2k + 2 \][/tex]
[tex]\[ 3k^2 - 2k - 2 = 0 \][/tex]
### Paso 5: Resolver la ecuación cuadrática
Tenemos una ecuación cuadrática de la forma \( ax^2 + bx + c = 0 \):
[tex]\[ 3k^2 - 2k - 2 = 0 \][/tex]
Usamos la fórmula cuadrática \( k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), donde:
- \( a = 3 \)
- \( b = -2 \)
- \( c = -2 \)
Calculamos el discriminante:
[tex]\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-2) = 4 + 24 = 28 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ k = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{6} \][/tex]
[tex]\[ k = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{6} \][/tex]
[tex]\[ k = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3} \][/tex]
Por lo tanto, los valores de \( k \) son aproximadamente:
[tex]\[ k_1 = 1.2152504370215302 \][/tex]
[tex]\[ k_2 = -0.5485837703548636 \][/tex]
Estos son los valores de [tex]\( k \)[/tex] que hacen que la primera recta sea perpendicular a la segunda recta.
### Paso 1: Encontrar la pendiente de la segunda recta
La ecuación de la segunda recta es:
[tex]\[ 3x - 2y - 11 = 0 \][/tex]
Para encontrar la pendiente (m) de la recta, reescribimos la ecuación en la forma \( y = mx + b \):
[tex]\[ 3x - 2y = 11 \][/tex]
[tex]\[ -2y = -3x + 11 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{3}{2}x - \frac{11}{2} \][/tex]
La pendiente de esta recta es:
[tex]\[ m_2 = \frac{3}{2} \][/tex]
### Paso 2: Encontrar la pendiente de la primera recta en términos de \( k \)
La ecuación de la primera recta es:
[tex]\[ k^2 x + (k + 1) y + 3 = 0 \][/tex]
De nuevo, reescribimos esta ecuación en la forma \( y = mx + b \):
[tex]\[ (k + 1)y = -k^2 x - 3 \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{k^2}{k+1}x - \frac{3}{k+1} \][/tex]
La pendiente de esta recta es:
[tex]\[ m_1 = -\frac{k^2}{k + 1} \][/tex]
### Paso 3: Establecer la condición de perpendicularidad
Para que las rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a -1:
[tex]\[ m_1 \cdot m_2 = -1 \][/tex]
Sustituyendo los valores de \( m_1 \) y \( m_2 \):
[tex]\[ \left( -\frac{k^2}{k + 1} \right) \cdot \frac{3}{2} = -1 \][/tex]
### Paso 4: Resolver la ecuación
Simplificamos la ecuación para encontrar \( k \):
[tex]\[ -\frac{3k^2}{2(k + 1)} = -1 \][/tex]
[tex]\[ \frac{3k^2}{2(k + 1)} = 1 \][/tex]
[tex]\[ 3k^2 = 2(k + 1) \][/tex]
[tex]\[ 3k^2 = 2k + 2 \][/tex]
[tex]\[ 3k^2 - 2k - 2 = 0 \][/tex]
### Paso 5: Resolver la ecuación cuadrática
Tenemos una ecuación cuadrática de la forma \( ax^2 + bx + c = 0 \):
[tex]\[ 3k^2 - 2k - 2 = 0 \][/tex]
Usamos la fórmula cuadrática \( k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), donde:
- \( a = 3 \)
- \( b = -2 \)
- \( c = -2 \)
Calculamos el discriminante:
[tex]\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-2) = 4 + 24 = 28 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ k = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{6} \][/tex]
[tex]\[ k = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{6} \][/tex]
[tex]\[ k = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3} \][/tex]
Por lo tanto, los valores de \( k \) son aproximadamente:
[tex]\[ k_1 = 1.2152504370215302 \][/tex]
[tex]\[ k_2 = -0.5485837703548636 \][/tex]
Estos son los valores de [tex]\( k \)[/tex] que hacen que la primera recta sea perpendicular a la segunda recta.
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