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Sagot :
Para resolver la desigualdad [tex]\( -x^2 - 4x < -5 \)[/tex], sigue estos pasos:
### Paso 1: Reescribir la desigualdad como una ecuación
Primero, reescribimos la desigualdad como una ecuación para encontrar los puntos límites:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -5 \][/tex]
### Paso 2: Resolver la ecuación cuadrática
Reorganizamos la ecuación cuadrática a la forma estándar [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x + 5 = 0 \][/tex]
Multiplicamos por [tex]\(-1\)[/tex] para simplificar el manejo de la ecuación:
[tex]\[ x^2 + 4x - 5 = 0 \][/tex]
Ahora, usamos la fórmula cuadrática [tex]\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)[/tex], donde [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 4\)[/tex] y [tex]\(c = -5\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm 6}{2} \][/tex]
Esto nos da dos soluciones:
[tex]\[ x = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \][/tex]
Por lo tanto, los puntos límites son [tex]\(x = -5\)[/tex] y [tex]\(x = 1\)[/tex].
### Paso 3: Analizar los intervalos
Con los puntos límites [tex]\(x = -5\)[/tex] y [tex]\(x = 1\)[/tex], dividimos la recta numérica en tres intervalos:
1. [tex]\((-\infty, -5)\)[/tex]
2. [tex]\((-5, 1)\)[/tex]
3. [tex]\((1, \infty)\)[/tex]
### Paso 4: Probar puntos en cada intervalo
Probamos puntos de prueba en cada intervalo para ver si la desigualdad se cumple.
Intervalo [tex]\((-\infty, -5)\)[/tex]:
Eligeremos un punto [tex]\( x = -6 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -(-6)^2 - 4(-6) = -36 + 24 = -12 \][/tex]
Comprobamos si [tex]\(-12 < -5\)[/tex]:
[tex]\[ \text{Sí, esto es correcto.} \][/tex]
Intervalo [tex]\((-5, 1)\)[/tex]:
Eligeremos un punto [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -(0)^2 - 4(0) = 0 \][/tex]
Comprobamos si [tex]\(0 < -5\)[/tex]:
[tex]\[ \text{No, esto es falso.} \][/tex]
Intervalo [tex]\((1, \infty)\)[/tex]:
Eligeremos un punto [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -(2)^2 - 4(2) = -4 - 8 = -12 \][/tex]
Comprobamos si [tex]\(-12 < -5\)[/tex]:
[tex]\[ \text{Sí, esto es correcto.} \][/tex]
### Paso 5: Interpretar los resultados
Nos damos cuenta de que la desigualdad [tex]\(-x^2 - 4x < -5\)[/tex] es cierta en los intervalos [tex]\((-\infty, -5)\)[/tex] y [tex]\((1, \infty)\)[/tex]. Los puntos límites [tex]\(x = -5\)[/tex] y [tex]\(x = 1\)[/tex] no se incluyen, ya que en esos puntos la desigualdad se convierte en una igualdad.
### Conclusión
La solución para la desigualdad [tex]\( -x^2 - 4x < -5 \)[/tex] es:
[tex]\[ x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty) \][/tex]
### Paso 1: Reescribir la desigualdad como una ecuación
Primero, reescribimos la desigualdad como una ecuación para encontrar los puntos límites:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -5 \][/tex]
### Paso 2: Resolver la ecuación cuadrática
Reorganizamos la ecuación cuadrática a la forma estándar [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x + 5 = 0 \][/tex]
Multiplicamos por [tex]\(-1\)[/tex] para simplificar el manejo de la ecuación:
[tex]\[ x^2 + 4x - 5 = 0 \][/tex]
Ahora, usamos la fórmula cuadrática [tex]\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)[/tex], donde [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 4\)[/tex] y [tex]\(c = -5\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm 6}{2} \][/tex]
Esto nos da dos soluciones:
[tex]\[ x = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \][/tex]
Por lo tanto, los puntos límites son [tex]\(x = -5\)[/tex] y [tex]\(x = 1\)[/tex].
### Paso 3: Analizar los intervalos
Con los puntos límites [tex]\(x = -5\)[/tex] y [tex]\(x = 1\)[/tex], dividimos la recta numérica en tres intervalos:
1. [tex]\((-\infty, -5)\)[/tex]
2. [tex]\((-5, 1)\)[/tex]
3. [tex]\((1, \infty)\)[/tex]
### Paso 4: Probar puntos en cada intervalo
Probamos puntos de prueba en cada intervalo para ver si la desigualdad se cumple.
Intervalo [tex]\((-\infty, -5)\)[/tex]:
Eligeremos un punto [tex]\( x = -6 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -(-6)^2 - 4(-6) = -36 + 24 = -12 \][/tex]
Comprobamos si [tex]\(-12 < -5\)[/tex]:
[tex]\[ \text{Sí, esto es correcto.} \][/tex]
Intervalo [tex]\((-5, 1)\)[/tex]:
Eligeremos un punto [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -(0)^2 - 4(0) = 0 \][/tex]
Comprobamos si [tex]\(0 < -5\)[/tex]:
[tex]\[ \text{No, esto es falso.} \][/tex]
Intervalo [tex]\((1, \infty)\)[/tex]:
Eligeremos un punto [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ -x^2 - 4x = -(2)^2 - 4(2) = -4 - 8 = -12 \][/tex]
Comprobamos si [tex]\(-12 < -5\)[/tex]:
[tex]\[ \text{Sí, esto es correcto.} \][/tex]
### Paso 5: Interpretar los resultados
Nos damos cuenta de que la desigualdad [tex]\(-x^2 - 4x < -5\)[/tex] es cierta en los intervalos [tex]\((-\infty, -5)\)[/tex] y [tex]\((1, \infty)\)[/tex]. Los puntos límites [tex]\(x = -5\)[/tex] y [tex]\(x = 1\)[/tex] no se incluyen, ya que en esos puntos la desigualdad se convierte en una igualdad.
### Conclusión
La solución para la desigualdad [tex]\( -x^2 - 4x < -5 \)[/tex] es:
[tex]\[ x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty) \][/tex]
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