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Sagot :
Vamos a analizar cada una de las ecuaciones y resolverlas paso a paso para encontrar sus soluciones.
### Ecuación 1: [tex]\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)[/tex]
Para resolver esta ecuación cuadrática, podemos usar la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex] que dice:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
En este caso, [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = -2 \)[/tex] y [tex]\( c = 1 \)[/tex].
[tex]\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{0}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = 1 \][/tex]
Por lo tanto, la solución de esta ecuación es [tex]\( x = 1 \)[/tex].
### Ecuación 2: [tex]\( x^2 - 2x + 4 = 0 \)[/tex]
Aplicando la misma fórmula:
[tex]\[ a = 1, \, b = -2, \, c = 4 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{12i^2}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = 1 \pm \sqrt{3}i \][/tex]
Las soluciones de esta ecuación son [tex]\( x = 1 + \sqrt{3}i \)[/tex] y [tex]\( x = 1 - \sqrt{3}i \)[/tex].
### Ecuación 3: [tex]\( 2x^2 - 7x + 3 = 0 \)[/tex]
Aplicando la misma fórmula:
[tex]\[ a = 2, \, b = -7, \, c = 3 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{7 \pm 5}{4} \][/tex]
Por lo tanto, tenemos dos soluciones:
[tex]\[ x = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \][/tex]
Las soluciones de esta ecuación son [tex]\( x = 3 \)[/tex] y [tex]\( x = \frac{1}{2} \)[/tex].
### Ecuación 4: [tex]\( x^2 - 3x - 4 = 0 \)[/tex]
Aplicando la misma fórmula:
[tex]\[ a = 1, \, b = -3, \, c = -4 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -4}}{2 \cdot 1} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 \pm 5}{2} \][/tex]
Por lo tanto, tenemos dos soluciones:
[tex]\[ x = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \][/tex]
Las soluciones de esta ecuación son [tex]\( x = 4 \)[/tex] y [tex]\( x = -1 \)[/tex].
### Identificación de Soluciones Inadmisibles
Observamos que sólo en la Ecuación 2: [tex]\( x^2 - 2x + 4 = 0 \)[/tex] obtenemos raíces complejas [tex]\( 1 + \sqrt{3}i \)[/tex] y [tex]\( 1 - \sqrt{3}i \)[/tex]. Por lo tanto, estas son soluciones inadmisibles en el contexto de números reales.
Las demás ecuaciones tienen soluciones reales. Por lo tanto, la ecuación con soluciones inadmisibles es:
[tex]\[ x^2 - 2x + 4 = 0 \][/tex]
### Ecuación 1: [tex]\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)[/tex]
Para resolver esta ecuación cuadrática, podemos usar la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex] que dice:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
En este caso, [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = -2 \)[/tex] y [tex]\( c = 1 \)[/tex].
[tex]\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{0}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = 1 \][/tex]
Por lo tanto, la solución de esta ecuación es [tex]\( x = 1 \)[/tex].
### Ecuación 2: [tex]\( x^2 - 2x + 4 = 0 \)[/tex]
Aplicando la misma fórmula:
[tex]\[ a = 1, \, b = -2, \, c = 4 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{12i^2}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = 1 \pm \sqrt{3}i \][/tex]
Las soluciones de esta ecuación son [tex]\( x = 1 + \sqrt{3}i \)[/tex] y [tex]\( x = 1 - \sqrt{3}i \)[/tex].
### Ecuación 3: [tex]\( 2x^2 - 7x + 3 = 0 \)[/tex]
Aplicando la misma fórmula:
[tex]\[ a = 2, \, b = -7, \, c = 3 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{7 \pm 5}{4} \][/tex]
Por lo tanto, tenemos dos soluciones:
[tex]\[ x = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \][/tex]
Las soluciones de esta ecuación son [tex]\( x = 3 \)[/tex] y [tex]\( x = \frac{1}{2} \)[/tex].
### Ecuación 4: [tex]\( x^2 - 3x - 4 = 0 \)[/tex]
Aplicando la misma fórmula:
[tex]\[ a = 1, \, b = -3, \, c = -4 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -4}}{2 \cdot 1} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 \pm 5}{2} \][/tex]
Por lo tanto, tenemos dos soluciones:
[tex]\[ x = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \][/tex]
Las soluciones de esta ecuación son [tex]\( x = 4 \)[/tex] y [tex]\( x = -1 \)[/tex].
### Identificación de Soluciones Inadmisibles
Observamos que sólo en la Ecuación 2: [tex]\( x^2 - 2x + 4 = 0 \)[/tex] obtenemos raíces complejas [tex]\( 1 + \sqrt{3}i \)[/tex] y [tex]\( 1 - \sqrt{3}i \)[/tex]. Por lo tanto, estas son soluciones inadmisibles en el contexto de números reales.
Las demás ecuaciones tienen soluciones reales. Por lo tanto, la ecuación con soluciones inadmisibles es:
[tex]\[ x^2 - 2x + 4 = 0 \][/tex]
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