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Sagot :
Vamos a clasificar los siguientes números decimales y convertirlos en fracciones indicando si son decimales exactos, periódicos puros (cuando los dígitos decimales se repiten desde el inicio después del punto decimal) o periódicos mixtos (cuando tienen una parte decimal no periódica seguida de una parte decimal periódica). Proporcionaremos el procedimiento detallado para cada número:
### a) 0.25
El número [tex]\(0.25\)[/tex] es un decimal exacto (termina después de dos dígitos decimales).
Conversión a fracción:
[tex]\[ 0.25 = \frac{25}{100} \][/tex]
Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor (MCD = 25):
[tex]\[ \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4} \][/tex]
Resultado:
[tex]\[ 0.25 = \frac{1}{4} \][/tex]
### b) 1.25
El número [tex]\(1.25\)[/tex] es también un decimal exacto (termina después de dos dígitos decimales).
Conversión a fracción:
[tex]\[ 1.25 = 1 + 0.25 = 1 + \frac{25}{100} \][/tex]
[tex]\[ 1.25 = 1 + \frac{1}{4} \][/tex]
Finalmente, combinamos la parte entera y la fracción:
[tex]\[ 1.25 = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \][/tex]
Resultado:
[tex]\[ 1.25 = \frac{5}{4} \][/tex]
### c) [tex]\(3.12\widehat{3}\)[/tex]
El número [tex]\(3.12\widehat{3}\)[/tex] es un decimal periódico mixto con la parte periódica [tex]\(3\)[/tex].
Conversión a fracción:
Llamemos [tex]\(x\)[/tex] a nuestro número:
[tex]\[ x = 3.12333\ldots \][/tex]
Multiplicamos por 10 (para desplazar la parte decimal en una posición a la izquierda):
[tex]\[ 10x = 31.2333\ldots \][/tex]
Multiplicamos por 1000 (para desplazar la parte periódica completa a la izquierda):
[tex]\[ 1000x = 3123.333\ldots \][/tex]
Restamos la primera ecuación de la segunda:
[tex]\[ 1000x - 10x = 3123.333\ldots - 31.2333\ldots \][/tex]
[tex]\[ 990x = 3092.1 \][/tex]
Simplificamos resolviendo [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{3092.1}{990} \][/tex]
Para simplificar, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 10 para eliminar el decimal:
[tex]\[ x = \frac{30921}{9900} \][/tex]
Luego simplificamos la fracción dividiendo por su máximo común divisor (MCD = 3):
[tex]\[ x = \frac{30921 \div 3}{9900 \div 3} = \frac{10307}{3300} \][/tex]
Resultado:
[tex]\[ 3.12\widehat{3} = \frac{10307}{3300} \][/tex]
### d) [tex]\(4.3\widetilde{82}\)[/tex]
El número [tex]\(4.3\widetilde{82}\)[/tex] es un decimal periódico mixto con la parte periódica [tex]\(82\)[/tex].
Conversión a fracción:
Llamemos [tex]\(y\)[/tex] a nuestro número:
[tex]\[ y = 4.38282828\ldots \][/tex]
Multiplicamos por 100 (para desplazar la parte periódica completa a la izquierda):
[tex]\[ 100y = 438.282828\ldots \][/tex]
Multiplicamos por 10 (para desplazar la parte no periódica a la izquierda):
[tex]\[ 10y = 43.828282\ldots \][/tex]
Restamos la segunda ecuación de la primera:
[tex]\[ 100y - 10y = 438.282828\ldots - 43.828282\ldots \][/tex]
[tex]\[ 90y = 394.454545\ldots \][/tex]
Simplificamos resolviendo [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y = \frac{394.454545\ldots}{90} \][/tex]
Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 10 para eliminar el decimal:
[tex]\[ y = \frac{3945}{900} \][/tex]
Simplificamos la fracción dividiendo por su máximo común divisor (MCD = 5):
[tex]\[ y = \frac{789}{180} \][/tex]
Resultado:
[tex]\[ 4.3\widetilde{82} = \frac{789}{180} \][/tex]
### e) [tex]\(1.\widehat{3}\)[/tex]
El número [tex]\(1.\widehat{3}\)[/tex] es un decimal periódico puro con la parte periódica [tex]\(3\)[/tex].
Conversión a fracción:
Llamemos [tex]\(z\)[/tex] a nuestro número:
[tex]\[ z = 1.3333\ldots \][/tex]
Multiplicamos por 10 (para desplazar la parte periódica completa a la izquierda):
[tex]\[ 10z = 13.3333\ldots \][/tex]
Restamos la primera ecuación de la segunda:
[tex]\[ 10z - z = 13.3333\ldots - 1.3333\ldots \][/tex]
[tex]\[ 9z = 12 \][/tex]
Simplificamos resolviendo [tex]\( z \)[/tex]:
[tex]\[ z = \frac{12}{9} \][/tex]
Simplificamos la fracción dividiendo por su máximo común divisor (MCD = 3):
[tex]\[ z = \frac{12 \div 3}{9 \div 3} = \frac{4}{3} \][/tex]
Resultado:
[tex]\[ 1.\widehat{3} = \frac{4}{3} \][/tex]
### a) 0.25
El número [tex]\(0.25\)[/tex] es un decimal exacto (termina después de dos dígitos decimales).
Conversión a fracción:
[tex]\[ 0.25 = \frac{25}{100} \][/tex]
Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor (MCD = 25):
[tex]\[ \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4} \][/tex]
Resultado:
[tex]\[ 0.25 = \frac{1}{4} \][/tex]
### b) 1.25
El número [tex]\(1.25\)[/tex] es también un decimal exacto (termina después de dos dígitos decimales).
Conversión a fracción:
[tex]\[ 1.25 = 1 + 0.25 = 1 + \frac{25}{100} \][/tex]
[tex]\[ 1.25 = 1 + \frac{1}{4} \][/tex]
Finalmente, combinamos la parte entera y la fracción:
[tex]\[ 1.25 = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \][/tex]
Resultado:
[tex]\[ 1.25 = \frac{5}{4} \][/tex]
### c) [tex]\(3.12\widehat{3}\)[/tex]
El número [tex]\(3.12\widehat{3}\)[/tex] es un decimal periódico mixto con la parte periódica [tex]\(3\)[/tex].
Conversión a fracción:
Llamemos [tex]\(x\)[/tex] a nuestro número:
[tex]\[ x = 3.12333\ldots \][/tex]
Multiplicamos por 10 (para desplazar la parte decimal en una posición a la izquierda):
[tex]\[ 10x = 31.2333\ldots \][/tex]
Multiplicamos por 1000 (para desplazar la parte periódica completa a la izquierda):
[tex]\[ 1000x = 3123.333\ldots \][/tex]
Restamos la primera ecuación de la segunda:
[tex]\[ 1000x - 10x = 3123.333\ldots - 31.2333\ldots \][/tex]
[tex]\[ 990x = 3092.1 \][/tex]
Simplificamos resolviendo [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{3092.1}{990} \][/tex]
Para simplificar, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 10 para eliminar el decimal:
[tex]\[ x = \frac{30921}{9900} \][/tex]
Luego simplificamos la fracción dividiendo por su máximo común divisor (MCD = 3):
[tex]\[ x = \frac{30921 \div 3}{9900 \div 3} = \frac{10307}{3300} \][/tex]
Resultado:
[tex]\[ 3.12\widehat{3} = \frac{10307}{3300} \][/tex]
### d) [tex]\(4.3\widetilde{82}\)[/tex]
El número [tex]\(4.3\widetilde{82}\)[/tex] es un decimal periódico mixto con la parte periódica [tex]\(82\)[/tex].
Conversión a fracción:
Llamemos [tex]\(y\)[/tex] a nuestro número:
[tex]\[ y = 4.38282828\ldots \][/tex]
Multiplicamos por 100 (para desplazar la parte periódica completa a la izquierda):
[tex]\[ 100y = 438.282828\ldots \][/tex]
Multiplicamos por 10 (para desplazar la parte no periódica a la izquierda):
[tex]\[ 10y = 43.828282\ldots \][/tex]
Restamos la segunda ecuación de la primera:
[tex]\[ 100y - 10y = 438.282828\ldots - 43.828282\ldots \][/tex]
[tex]\[ 90y = 394.454545\ldots \][/tex]
Simplificamos resolviendo [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y = \frac{394.454545\ldots}{90} \][/tex]
Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 10 para eliminar el decimal:
[tex]\[ y = \frac{3945}{900} \][/tex]
Simplificamos la fracción dividiendo por su máximo común divisor (MCD = 5):
[tex]\[ y = \frac{789}{180} \][/tex]
Resultado:
[tex]\[ 4.3\widetilde{82} = \frac{789}{180} \][/tex]
### e) [tex]\(1.\widehat{3}\)[/tex]
El número [tex]\(1.\widehat{3}\)[/tex] es un decimal periódico puro con la parte periódica [tex]\(3\)[/tex].
Conversión a fracción:
Llamemos [tex]\(z\)[/tex] a nuestro número:
[tex]\[ z = 1.3333\ldots \][/tex]
Multiplicamos por 10 (para desplazar la parte periódica completa a la izquierda):
[tex]\[ 10z = 13.3333\ldots \][/tex]
Restamos la primera ecuación de la segunda:
[tex]\[ 10z - z = 13.3333\ldots - 1.3333\ldots \][/tex]
[tex]\[ 9z = 12 \][/tex]
Simplificamos resolviendo [tex]\( z \)[/tex]:
[tex]\[ z = \frac{12}{9} \][/tex]
Simplificamos la fracción dividiendo por su máximo común divisor (MCD = 3):
[tex]\[ z = \frac{12 \div 3}{9 \div 3} = \frac{4}{3} \][/tex]
Resultado:
[tex]\[ 1.\widehat{3} = \frac{4}{3} \][/tex]
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