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Sagot :
Vamos a resolver el problema paso a paso.
### Parte a: Distribución de [tex]\(X\)[/tex]
El problema describe una situación en la que estamos seleccionando un subconjunto de calzados de una población finita sin reemplazo, lo cual es típico de una distribución hipergeométrica.
La distribución hipergeométrica tiene tres parámetros:
- [tex]\(N\)[/tex]: el tamaño de la población total.
- [tex]\(K\)[/tex]: el número de éxitos en la población.
- [tex]\(n\)[/tex]: el tamaño de la muestra.
En este caso:
- El tamaño total de la población ([tex]\(N\)[/tex]) es 20 (total de calzados).
- El número de éxitos en la población ([tex]\(K\)[/tex]) es 12 (calzados de hombre).
- El tamaño de la muestra ([tex]\(n\)[/tex]) es 10 (calzados seleccionados para inspección).
Por lo tanto, [tex]\(X\)[/tex], el número de calzados de hombre entre los 10 seleccionados, sigue una distribución hipergeométrica [tex]\(X \sim \text{Hipergeométrica}(N = 20, K = 12, n = 10)\)[/tex].
### Parte b: Cálculos de Probabilidades
#### [tex]\(P(X \geq 3)\)[/tex]
Para calcular [tex]\(P(X \geq 3)\)[/tex], usamos la función de supervivencia (SF), que es complementaria a la función de distribución acumulativa (CDF):
[tex]\[P(X \geq 3) = 0.9996427720885925\][/tex]
#### [tex]\(P(X \leq 3)\)[/tex]
Para encontrar [tex]\(P(X \leq 3)\)[/tex], utilizamos directamente la función de distribución acumulativa (CDF):
[tex]\[P(X \leq 3) = 0.009883305548940223\][/tex]
#### [tex]\(P(X = 3)\)[/tex]
Para [tex]\(P(X = 3)\)[/tex], usamos la función de masa de probabilidad (PMF):
[tex]\[P(X = 3) = 0.009526077637532746\][/tex]
### Parte c: Valor Medio y Desviación Estándar de [tex]\(X\)[/tex]
La media [tex]\(E(X)\)[/tex] y la desviación estándar [tex]\(\sigma(X)\)[/tex] de una distribución hipergeométrica están dadas por:
[tex]\[ \text{Media} = \frac{nK}{N} \][/tex]
[tex]\[ E(X) = \frac{10 \cdot 12}{20} = 6.0 \][/tex]
La desviación estándar [tex]\(\sigma(X)\)[/tex]:
[tex]\[ \text{Desviación Estándar} = \sqrt{n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}} \][/tex]
[tex]\[ \sigma(X) = 1.1239029738980326 \][/tex]
Resumiendo, tenemos:
a) [tex]\(X\)[/tex] sigue una distribución hipergeométrica con parámetros [tex]\(N = 20, K = 12, n = 10\)[/tex].
b) Las probabilidades calculadas son:
[tex]\[P(X \geq 3) = 0.9996427720885925\][/tex]
[tex]\[P(X \leq 3) = 0.009883305548940223\][/tex]
[tex]\[P(X = 3) = 0.009526077637532746\][/tex]
c) El valor medio y la desviación estándar de [tex]\(X\)[/tex] son:
[tex]\[\text{Media} = 6.0\][/tex]
[tex]\[\text{Desviación Estándar} = 1.1239029738980326\][/tex]
Con esto, se concluye la solución del problema planteado.
### Parte a: Distribución de [tex]\(X\)[/tex]
El problema describe una situación en la que estamos seleccionando un subconjunto de calzados de una población finita sin reemplazo, lo cual es típico de una distribución hipergeométrica.
La distribución hipergeométrica tiene tres parámetros:
- [tex]\(N\)[/tex]: el tamaño de la población total.
- [tex]\(K\)[/tex]: el número de éxitos en la población.
- [tex]\(n\)[/tex]: el tamaño de la muestra.
En este caso:
- El tamaño total de la población ([tex]\(N\)[/tex]) es 20 (total de calzados).
- El número de éxitos en la población ([tex]\(K\)[/tex]) es 12 (calzados de hombre).
- El tamaño de la muestra ([tex]\(n\)[/tex]) es 10 (calzados seleccionados para inspección).
Por lo tanto, [tex]\(X\)[/tex], el número de calzados de hombre entre los 10 seleccionados, sigue una distribución hipergeométrica [tex]\(X \sim \text{Hipergeométrica}(N = 20, K = 12, n = 10)\)[/tex].
### Parte b: Cálculos de Probabilidades
#### [tex]\(P(X \geq 3)\)[/tex]
Para calcular [tex]\(P(X \geq 3)\)[/tex], usamos la función de supervivencia (SF), que es complementaria a la función de distribución acumulativa (CDF):
[tex]\[P(X \geq 3) = 0.9996427720885925\][/tex]
#### [tex]\(P(X \leq 3)\)[/tex]
Para encontrar [tex]\(P(X \leq 3)\)[/tex], utilizamos directamente la función de distribución acumulativa (CDF):
[tex]\[P(X \leq 3) = 0.009883305548940223\][/tex]
#### [tex]\(P(X = 3)\)[/tex]
Para [tex]\(P(X = 3)\)[/tex], usamos la función de masa de probabilidad (PMF):
[tex]\[P(X = 3) = 0.009526077637532746\][/tex]
### Parte c: Valor Medio y Desviación Estándar de [tex]\(X\)[/tex]
La media [tex]\(E(X)\)[/tex] y la desviación estándar [tex]\(\sigma(X)\)[/tex] de una distribución hipergeométrica están dadas por:
[tex]\[ \text{Media} = \frac{nK}{N} \][/tex]
[tex]\[ E(X) = \frac{10 \cdot 12}{20} = 6.0 \][/tex]
La desviación estándar [tex]\(\sigma(X)\)[/tex]:
[tex]\[ \text{Desviación Estándar} = \sqrt{n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}} \][/tex]
[tex]\[ \sigma(X) = 1.1239029738980326 \][/tex]
Resumiendo, tenemos:
a) [tex]\(X\)[/tex] sigue una distribución hipergeométrica con parámetros [tex]\(N = 20, K = 12, n = 10\)[/tex].
b) Las probabilidades calculadas son:
[tex]\[P(X \geq 3) = 0.9996427720885925\][/tex]
[tex]\[P(X \leq 3) = 0.009883305548940223\][/tex]
[tex]\[P(X = 3) = 0.009526077637532746\][/tex]
c) El valor medio y la desviación estándar de [tex]\(X\)[/tex] son:
[tex]\[\text{Media} = 6.0\][/tex]
[tex]\[\text{Desviación Estándar} = 1.1239029738980326\][/tex]
Con esto, se concluye la solución del problema planteado.
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