Claro! Vamos analisar a equação [tex]\( x^2 - 2 = \frac{6}{x^2 - 1} \)[/tex] sob a condição de que [tex]\( x \neq 1 \)[/tex] e [tex]\( x \neq -1 \)[/tex].
### Passo 1: Simplificação da Equação
Primeiro, vamos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados da equação por [tex]\( x^2 - 1 \)[/tex]:
[tex]\[ (x^2 - 2)(x^2 - 1) = 6 \][/tex]
### Passo 2: Expansão e Rearranjo
Expandindo o lado esquerdo da equação:
[tex]\[ x^4 - x^2 - 2x^2 + 2 = 6 \][/tex]
[tex]\[ x^4 - 3x^2 + 2 = 6 \][/tex]
Rearranjando para trazer todos os termos para um lado da equação:
[tex]\[ x^4 - 3x^2 + 2 - 6 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^4 - 3x^2 - 4 = 0 \][/tex]
### Passo 3: Fatoração
A equação [tex]\( x^4 - 3x^2 - 4 = 0 \)[/tex] pode ser tratada como uma equação quadrática em termos de [tex]\( u \)[/tex], onde [tex]\( u = x^2 \)[/tex]:
[tex]\[ u^2 - 3u - 4 = 0 \][/tex]
Resolvendo esta equação quadrática:
[tex]\[ u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \][/tex]
[tex]\[ u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} \][/tex]
[tex]\[ u = \frac{3 \pm 5}{2} \][/tex]
Assim, temos duas soluções para [tex]\( u \)[/tex]:
[tex]\[ u = \frac{8}{2} = 4 \][/tex]
[tex]\[ u = \frac{-2}{2} = -1 \][/tex]
### Passo 4: Retornando à Variável [tex]\( x \)[/tex]
Como [tex]\( u = x^2 \)[/tex], substituímos de volta:
Para [tex]\( u = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 = 4 \][/tex]
[tex]\[ x = \pm 2 \][/tex]
Para [tex]\( u = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 = -1 \][/tex]
No caso de [tex]\( u = -1 \)[/tex], não temos soluções reais, pois [tex]\( x^2 = -1 \)[/tex] não possui solução no conjunto dos números reais.
### Passo 5: Verificação das Condições
Por fim, verificamos as soluções:
As soluções para a equação são [tex]\( x = 2 \)[/tex] e [tex]\( x = -2 \)[/tex].
Ambas são valores permitidos dentro das condições que [tex]\( x \neq 1 \)[/tex] e [tex]\( x \neq -1 \)[/tex].
### Conclusão
A equação [tex]\( x^2 - 2 = \frac{6}{x^2 - 1} \)[/tex], sujeita às condições [tex]\( x \neq 1 \)[/tex] e [tex]\( x \neq -1 \)[/tex], possui 2 raízes reais: [tex]\( x = -2 \)[/tex] e [tex]\( x = 2 \)[/tex].
