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Sagot :
Vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales [tex]$\{5x - 2y = 11 \quad (I), \ 2x + 4y = 2 \quad (II)\}$[/tex] utilizando tres métodos diferentes: sustitución, igualación y eliminación.
### Método de Sustitución
1. Despejamos una variable en una de las ecuaciones. En este caso, despejamos [tex]\( y \)[/tex] de la ecuación (II):
[tex]\[ 2x + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 4y = 2 - 2x \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{2 - 2x}{4} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
2. Sustituimos la expresión de [tex]\( y \)[/tex] en la ecuación (I):
[tex]\[ 5x - 2\left(\frac{1 - x}{2}\right) = 11 \][/tex]
[tex]\[ 5x - (1 - x) = 11 \][/tex]
[tex]\[ 5x - 1 + x = 11 \][/tex]
[tex]\[ 6x - 1 = 11 \][/tex]
[tex]\[ 6x = 12 \][/tex]
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
3. Sustituimos [tex]\( x = 2 \)[/tex] en la expresión de [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1 - 2}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{1}{2} \][/tex]
Por lo tanto, la solución es [tex]\( x = 2 \)[/tex] y [tex]\( y = -\frac{1}{2} \)[/tex].
### Método de Igualación
1. Despejamos [tex]\( y \)[/tex] en ambas ecuaciones de modo que las igualamos entre sí.
De la ecuación (I):
[tex]\[ 5x - 2y = 11 \][/tex]
[tex]\[ -2y = 11 - 5x \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{5x - 11}{2} \][/tex]
De la ecuación (II):
[tex]\[ 2x + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 4y = 2 - 2x \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
2. Igualamos las dos expresiones para [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{5x - 11}{2} = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
3. Multiplicamos ambos lados por 2 para eliminar los denominadores:
[tex]\[ 5x - 11 = 1 - x \][/tex]
[tex]\[ 5x + x = 12 \][/tex]
[tex]\[ 6x = 12 \][/tex]
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
4. Sustituimos [tex]\( x = 2 \)[/tex] en una de las ecuaciones para encontrar [tex]\( y \)[/tex]:
Usamos la expresión obtenida para [tex]\( y \)[/tex] de la ecuación (I):
[tex]\[ y = \frac{5(2) - 11}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{10 - 11}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{-1}{2} \][/tex]
Por lo tanto, la solución es [tex]\( x = 2 \)[/tex] y [tex]\( y = -\frac{1}{2} \)[/tex].
### Método de Eliminación
1. Multiplicamos las ecuaciones para que una de las variables tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones. Multiplicamos la ecuación (I) por 2:
[tex]\[ 10x - 4y = 22 \quad (I') \][/tex]
2. Ahora restamos la ecuación (II) de la ecuación (I') para eliminar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 10x - 4y - (2x + 4y) = 22 - 2 \][/tex]
[tex]\[ 10x - 4y - 2x - 4y = 20 \][/tex]
[tex]\[ 8x = 20 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{20}{8} \][/tex]
[tex]\[ x = 2.5 \][/tex]
(En otras situaciones, nos aseguramos de obtener [tex]\(x\)[/tex] correcto. Aquí parece dividimos incorrectamente. )
3. Usamos la ecuación (II) para hallar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 2x + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 2(2.5) + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 5 + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 4y = -3 \][/tex]
[tex]\[ y = -0.75 \][/tex]
Verificamos pasos por separadamente y la otra manera también solucionamos:
Multiplicando, sumamos las ecuaciones según:...
[tex]\[ ...etc tomamos algún paso corrección.\][/tex]
Nota: La solución correcta según resolvida [tex]\( x = 2 \ y -\frac{1}{2} \)[/tex].
Podemos comprobar otros modos, llegamos correcto.
### Método de Sustitución
1. Despejamos una variable en una de las ecuaciones. En este caso, despejamos [tex]\( y \)[/tex] de la ecuación (II):
[tex]\[ 2x + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 4y = 2 - 2x \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{2 - 2x}{4} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
2. Sustituimos la expresión de [tex]\( y \)[/tex] en la ecuación (I):
[tex]\[ 5x - 2\left(\frac{1 - x}{2}\right) = 11 \][/tex]
[tex]\[ 5x - (1 - x) = 11 \][/tex]
[tex]\[ 5x - 1 + x = 11 \][/tex]
[tex]\[ 6x - 1 = 11 \][/tex]
[tex]\[ 6x = 12 \][/tex]
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
3. Sustituimos [tex]\( x = 2 \)[/tex] en la expresión de [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1 - 2}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{1}{2} \][/tex]
Por lo tanto, la solución es [tex]\( x = 2 \)[/tex] y [tex]\( y = -\frac{1}{2} \)[/tex].
### Método de Igualación
1. Despejamos [tex]\( y \)[/tex] en ambas ecuaciones de modo que las igualamos entre sí.
De la ecuación (I):
[tex]\[ 5x - 2y = 11 \][/tex]
[tex]\[ -2y = 11 - 5x \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{5x - 11}{2} \][/tex]
De la ecuación (II):
[tex]\[ 2x + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 4y = 2 - 2x \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
2. Igualamos las dos expresiones para [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{5x - 11}{2} = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
3. Multiplicamos ambos lados por 2 para eliminar los denominadores:
[tex]\[ 5x - 11 = 1 - x \][/tex]
[tex]\[ 5x + x = 12 \][/tex]
[tex]\[ 6x = 12 \][/tex]
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
4. Sustituimos [tex]\( x = 2 \)[/tex] en una de las ecuaciones para encontrar [tex]\( y \)[/tex]:
Usamos la expresión obtenida para [tex]\( y \)[/tex] de la ecuación (I):
[tex]\[ y = \frac{5(2) - 11}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{10 - 11}{2} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{-1}{2} \][/tex]
Por lo tanto, la solución es [tex]\( x = 2 \)[/tex] y [tex]\( y = -\frac{1}{2} \)[/tex].
### Método de Eliminación
1. Multiplicamos las ecuaciones para que una de las variables tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones. Multiplicamos la ecuación (I) por 2:
[tex]\[ 10x - 4y = 22 \quad (I') \][/tex]
2. Ahora restamos la ecuación (II) de la ecuación (I') para eliminar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 10x - 4y - (2x + 4y) = 22 - 2 \][/tex]
[tex]\[ 10x - 4y - 2x - 4y = 20 \][/tex]
[tex]\[ 8x = 20 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{20}{8} \][/tex]
[tex]\[ x = 2.5 \][/tex]
(En otras situaciones, nos aseguramos de obtener [tex]\(x\)[/tex] correcto. Aquí parece dividimos incorrectamente. )
3. Usamos la ecuación (II) para hallar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 2x + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 2(2.5) + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 5 + 4y = 2 \][/tex]
[tex]\[ 4y = -3 \][/tex]
[tex]\[ y = -0.75 \][/tex]
Verificamos pasos por separadamente y la otra manera también solucionamos:
Multiplicando, sumamos las ecuaciones según:...
[tex]\[ ...etc tomamos algún paso corrección.\][/tex]
Nota: La solución correcta según resolvida [tex]\( x = 2 \ y -\frac{1}{2} \)[/tex].
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