Para resolver la variación porcentual en la expresión [tex]\( M = 4 \pi a^2 b \)[/tex] cuando [tex]\( a \)[/tex] disminuye en un [tex]\( 20 \% \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex] aumenta en un [tex]\( 50 \% \)[/tex], sigamos los pasos de cálculo de manera detallada:
1. Definimos los valores iniciales de [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex] como [tex]\( a_0 \)[/tex] y [tex]\( b_0 \)[/tex]. Para simplificar, consideremos ambos valores iniciales como [tex]\( a_0 = 1 \)[/tex] y [tex]\( b_0 = 1 \)[/tex].
2. Calculamos la nueva longitud de [tex]\( a \)[/tex] después de disminuir en un [tex]\( 20 \% \)[/tex]:
[tex]\[
a_\text{nuevo} = a_0 \times (1 - 0.20) = 1 \times 0.80 = 0.8
\][/tex]
3. Calculamos la nueva longitud de [tex]\( b \)[/tex] después de aumentar en un [tex]\( 50 \% \)[/tex]:
[tex]\[
b_\text{nuevo} = b_0 \times (1 + 0.50) = 1 \times 1.50 = 1.5
\][/tex]
4. Calculamos el valor inicial de [tex]\( M \)[/tex] usando los valores iniciales de [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex]:
[tex]\[
M_\text{inicial} = 4 \pi (a_0^2) b_0 = 4 \pi (1^2) \times 1 = 4 \pi
\][/tex]
5. Calculamos el valor nuevo de [tex]\( M \)[/tex] usando los valores nuevos de [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex]:
[tex]\[
M_\text{nuevo} = 4 \pi (a_\text{nuevo}^2) b_\text{nuevo} = 4 \pi (0.8^2) \times 1.5 = 4 \pi \times 0.64 \times 1.5
\][/tex]
[tex]\[
M_\text{nuevo} = 4 \pi \times 0.96 = 3.84 \pi
\][/tex]
6. Finalmente, calculamos el cambio porcentual en [tex]\( M \)[/tex]:
[tex]\[
\text{Cambio porcentual} = \left( \frac{M_\text{nuevo} - M_\text{inicial}}{M_\text{inicial}} \right) \times 100
\][/tex]
[tex]\[
\text{Cambio porcentual} = \left( \frac{3.84\pi - 4\pi}{4\pi} \right) \times 100 = \left( \frac{3.84 - 4}{4} \right) \times 100
\][/tex]
[tex]\[
\text{Cambio porcentual} = \left( \frac{-0.16}{4} \right) \times 100 = -0.04 \times 100 = -4 \%
\][/tex]
Entonces, la expresión [tex]\( M \)[/tex] disminuye en un [tex]\( 4 \% \)[/tex]. La opción correcta es:
e) disminuye en [tex]\( 4 \% \)[/tex]
