Para encontrar la forma correcta de la función [tex]\( f(x) \)[/tex] dada la información, sigamos estos pasos:
1. Identificar la forma factorizada:
Sabemos que los ceros de la función [tex]\( f(x) \)[/tex] son 3 y 4. Por lo tanto, la función puede ser expresada en la forma factorizada:
[tex]\[
f(x) = a(x - 3)(x - 4)
\][/tex]
donde [tex]\( a \)[/tex] es una constante que necesitamos determinar.
2. Uso del punto de intersección con el eje Y:
También se nos dice que la gráfica intersecta el eje [tex]\( Y \)[/tex] en [tex]\( (0, -24) \)[/tex]. Esto significa que:
[tex]\[
f(0) = -24
\][/tex]
3. Sustituir el punto de intersección para encontrar [tex]\( a \)[/tex]:
Sustituimos [tex]\( x = 0 \)[/tex] en la forma factorizada:
[tex]\[
f(0) = a(0 - 3)(0 - 4) = -24
\][/tex]
Simplificando:
[tex]\[
a \cdot (-3) \cdot (-4) = -24
\][/tex]
[tex]\[
12a = -24
\][/tex]
[tex]\[
a = \frac{-24}{12}
\][/tex]
[tex]\[
a = -2
\][/tex]
4. Sustituir [tex]\( a \)[/tex] en la expresión factorizada:
Ya que [tex]\( a \)[/tex] es [tex]\(-2\)[/tex], la función en forma factorizada es:
[tex]\[
f(x) = -2(x - 3)(x - 4)
\][/tex]
5. Expandir la expresión para obtener la forma estándar:
Ahora expandimos para convertirla en la forma estándar de un polinomio cuadrático:
[tex]\[
f(x) = -2(x - 3)(x - 4)
\][/tex]
Primero, expandimos el producto en el paréntesis:
[tex]\[
(x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12
\][/tex]
Ahora multiplicamos por [tex]\(-2\)[/tex]:
[tex]\[
f(x) = -2(x^2 - 7x + 12) = -2x^2 + 14x - 24
\][/tex]
6. Comparar con las opciones dadas:
La forma estándar de la función es:
[tex]\[
f(x) = -2x^2 + 14x - 24
\][/tex]
Finalmente, la correcta expresión correspondiente a esta función es la opción:
[tex]\[
D) \quad f(x) = -2x^2 + 14x - 24
\][/tex]
