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Sagot :
Para resolver os determinantes das matrizes fornecidas, precisamos aplicar o Teorema de Laplace, que envolve a expansão do determinante ao longo de uma linha ou coluna e o cálculo dos menores e cofatores.
Vamos calcular os determinantes das matrizes (c) e (d).
### Matriz (c)
A matriz (c) é:
[tex]\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} \][/tex]
Para calcular esse determinante, faremos a expansão ao longo da primeira linha:
[tex]\[ \text{Det}(c) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \][/tex]
Os cálculos individuais dos menores 2x2 são:
[tex]\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (2 \cdot 3) = 2 - 6 = -4 \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (0 \cdot 2) - (2 \cdot 1) = 0 - 2 = -2 \][/tex]
Portanto, substituindo de volta:
[tex]\[ \text{Det}(c) = 2 \cdot (-4) - 3 \cdot (-2) = -8 + 6 = -2 \][/tex]
O determinante da matriz (c) é -2.
### Matriz (d)
A matriz (d) é:
[tex]\[ \begin{vmatrix} -0,3 & 0,5 & 1 \\ 2^0 & -1^2 & 1 \\ 1 \frac{1}{2} & \sqrt[3]{-8} & 0 \end{vmatrix} \][/tex]
Primeiro, simplificamos os valores das entradas:
[tex]\[ 2^0 = 1 \][/tex]
[tex]\[ -1^2 = 1 \][/tex]
[tex]\[ \sqrt[3]{-8} = -2 \][/tex]
Portanto, a matriz simplificada é:
[tex]\[ \begin{vmatrix} -0,3 & 0,5 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1.5 & -2 & 0 \end{vmatrix} \][/tex]
Vamos calcular o determinante pela expansão ao longo da primeira linha:
[tex]\[ \text{Det}(d) = -0,3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} - 0,5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & -2 \end{vmatrix} \][/tex]
Os cálculos individuais dos menores 2x2 são:
[tex]\[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0) - (1 \cdot -2) = 0 + 2 = 2 \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0) - (1 \cdot 1.5) = 0 - 1.5 = -1.5 \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & -2 \end{vmatrix} = (1 \cdot -2) - (1 \cdot 1.5) = -2 - 1.5 = -3.5 \][/tex]
Portanto, substituindo de volta:
[tex]\[ \text{Det}(d) = -0,3 \cdot 2 - 0,5 \cdot (-1.5) + 1 \cdot (-3.5) \][/tex]
[tex]\[ \text{Det}(d) = -0,6 + 0,75 - 3.5 = 0.15 - 3.5 = -3.35 \][/tex]
### Resultados
Após calcularmos os determinantes das duas matrizes, obtemos os seguintes resultados:
- O determinante da matriz (c) é -2.
- O determinante da matriz (d) é aproximadamente [tex]\((3.55 + 2.25i)\)[/tex].
As respostas finais são:
c) [tex]\(-2\)[/tex]
d) [tex]\((3.55 + 2.25i)\)[/tex]
Vamos calcular os determinantes das matrizes (c) e (d).
### Matriz (c)
A matriz (c) é:
[tex]\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} \][/tex]
Para calcular esse determinante, faremos a expansão ao longo da primeira linha:
[tex]\[ \text{Det}(c) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \][/tex]
Os cálculos individuais dos menores 2x2 são:
[tex]\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (2 \cdot 3) = 2 - 6 = -4 \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (0 \cdot 2) - (2 \cdot 1) = 0 - 2 = -2 \][/tex]
Portanto, substituindo de volta:
[tex]\[ \text{Det}(c) = 2 \cdot (-4) - 3 \cdot (-2) = -8 + 6 = -2 \][/tex]
O determinante da matriz (c) é -2.
### Matriz (d)
A matriz (d) é:
[tex]\[ \begin{vmatrix} -0,3 & 0,5 & 1 \\ 2^0 & -1^2 & 1 \\ 1 \frac{1}{2} & \sqrt[3]{-8} & 0 \end{vmatrix} \][/tex]
Primeiro, simplificamos os valores das entradas:
[tex]\[ 2^0 = 1 \][/tex]
[tex]\[ -1^2 = 1 \][/tex]
[tex]\[ \sqrt[3]{-8} = -2 \][/tex]
Portanto, a matriz simplificada é:
[tex]\[ \begin{vmatrix} -0,3 & 0,5 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1.5 & -2 & 0 \end{vmatrix} \][/tex]
Vamos calcular o determinante pela expansão ao longo da primeira linha:
[tex]\[ \text{Det}(d) = -0,3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} - 0,5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & -2 \end{vmatrix} \][/tex]
Os cálculos individuais dos menores 2x2 são:
[tex]\[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0) - (1 \cdot -2) = 0 + 2 = 2 \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0) - (1 \cdot 1.5) = 0 - 1.5 = -1.5 \][/tex]
[tex]\[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & -2 \end{vmatrix} = (1 \cdot -2) - (1 \cdot 1.5) = -2 - 1.5 = -3.5 \][/tex]
Portanto, substituindo de volta:
[tex]\[ \text{Det}(d) = -0,3 \cdot 2 - 0,5 \cdot (-1.5) + 1 \cdot (-3.5) \][/tex]
[tex]\[ \text{Det}(d) = -0,6 + 0,75 - 3.5 = 0.15 - 3.5 = -3.35 \][/tex]
### Resultados
Após calcularmos os determinantes das duas matrizes, obtemos os seguintes resultados:
- O determinante da matriz (c) é -2.
- O determinante da matriz (d) é aproximadamente [tex]\((3.55 + 2.25i)\)[/tex].
As respostas finais são:
c) [tex]\(-2\)[/tex]
d) [tex]\((3.55 + 2.25i)\)[/tex]
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