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Sagot :
Para resolver esta pregunta, debemos considerar la relación entre la energía cinética (EC) y la energía potencial gravitatoria (EP) del cuerpo.
Sabemos que:
1. La energía potencial gravitatoria (EP) se calcula como:
[tex]\[ EP = m \cdot g \cdot h \][/tex]
donde [tex]\( m \)[/tex] es la masa del cuerpo, [tex]\( g \)[/tex] es la aceleración debido a la gravedad (10 m/s²), y [tex]\( h \)[/tex] es la altura.
2. La energía cinética (EC) se calcula como:
[tex]\[ EC = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \][/tex]
donde [tex]\( v \)[/tex] es la velocidad del cuerpo.
Estamos buscando la altura [tex]\( h \)[/tex] en la que la energía cinética es un tercio de la energía potencial gravitatoria. Es decir:
[tex]\[ EC = \frac{1}{3} \cdot EP \][/tex]
Usando la relación entre la energía cinética y la energía potencial gravitatoria, podemos establecer la ecuación:
[tex]\[ \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \frac{1}{3} \cdot m \cdot g \cdot h \][/tex]
Para resolver esto, observamos como se comporta la energía a diferentes alturas mediante el principio de conservación de la energía. La energía inicial (EP en la altura inicial de 80 m) se convierte en una combinación de EP y EC en una altura menor.
La altura inicial [tex]\( h_0 \)[/tex] es 80 metros.
Inicialmente:
[tex]\[ EP_{\text{inicial}} = m \cdot g \cdot h_0 \][/tex]
En cualquier otra altura [tex]\( h \)[/tex], la energía potencial restante y la energía cinética se sumarán a la energía total inicial:
[tex]\[ m \cdot g \cdot h_0 = m \cdot g \cdot h + \frac{1}{3} \cdot m \cdot g \cdot h \][/tex]
Simplificamos la ecuación:
[tex]\[ g \cdot h_0 = g \cdot h + \frac{1}{3} \cdot g \cdot h \][/tex]
Factorizamos [tex]\( h \)[/tex] en el lado derecho:
[tex]\[ g \cdot 80 = g \cdot h \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) \][/tex]
Simplificamos dentro del paréntesis:
[tex]\[ g \cdot 80 = g \cdot h \cdot \frac{4}{3} \][/tex]
Dividimos ambos lados por [tex]\( g \)[/tex]:
[tex]\[ 80 = h \cdot \frac{4}{3} \][/tex]
Resolvemos para [tex]\( h \)[/tex]:
[tex]\[ h = 80 \cdot \frac{3}{4} \][/tex]
[tex]\[ h = 60 \,\text{metros} \][/tex]
Entonces, la altura [tex]\( h \)[/tex] donde la energía cinética es la tercera parte de la energía potencial gravitatoria es [tex]\( \boxed{60 \text{ m}} \)[/tex].
Sabemos que:
1. La energía potencial gravitatoria (EP) se calcula como:
[tex]\[ EP = m \cdot g \cdot h \][/tex]
donde [tex]\( m \)[/tex] es la masa del cuerpo, [tex]\( g \)[/tex] es la aceleración debido a la gravedad (10 m/s²), y [tex]\( h \)[/tex] es la altura.
2. La energía cinética (EC) se calcula como:
[tex]\[ EC = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \][/tex]
donde [tex]\( v \)[/tex] es la velocidad del cuerpo.
Estamos buscando la altura [tex]\( h \)[/tex] en la que la energía cinética es un tercio de la energía potencial gravitatoria. Es decir:
[tex]\[ EC = \frac{1}{3} \cdot EP \][/tex]
Usando la relación entre la energía cinética y la energía potencial gravitatoria, podemos establecer la ecuación:
[tex]\[ \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \frac{1}{3} \cdot m \cdot g \cdot h \][/tex]
Para resolver esto, observamos como se comporta la energía a diferentes alturas mediante el principio de conservación de la energía. La energía inicial (EP en la altura inicial de 80 m) se convierte en una combinación de EP y EC en una altura menor.
La altura inicial [tex]\( h_0 \)[/tex] es 80 metros.
Inicialmente:
[tex]\[ EP_{\text{inicial}} = m \cdot g \cdot h_0 \][/tex]
En cualquier otra altura [tex]\( h \)[/tex], la energía potencial restante y la energía cinética se sumarán a la energía total inicial:
[tex]\[ m \cdot g \cdot h_0 = m \cdot g \cdot h + \frac{1}{3} \cdot m \cdot g \cdot h \][/tex]
Simplificamos la ecuación:
[tex]\[ g \cdot h_0 = g \cdot h + \frac{1}{3} \cdot g \cdot h \][/tex]
Factorizamos [tex]\( h \)[/tex] en el lado derecho:
[tex]\[ g \cdot 80 = g \cdot h \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) \][/tex]
Simplificamos dentro del paréntesis:
[tex]\[ g \cdot 80 = g \cdot h \cdot \frac{4}{3} \][/tex]
Dividimos ambos lados por [tex]\( g \)[/tex]:
[tex]\[ 80 = h \cdot \frac{4}{3} \][/tex]
Resolvemos para [tex]\( h \)[/tex]:
[tex]\[ h = 80 \cdot \frac{3}{4} \][/tex]
[tex]\[ h = 60 \,\text{metros} \][/tex]
Entonces, la altura [tex]\( h \)[/tex] donde la energía cinética es la tercera parte de la energía potencial gravitatoria es [tex]\( \boxed{60 \text{ m}} \)[/tex].
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