¡Claro! Vamos a resolver cada apartado paso a paso.
### Parte (a)
Dado que [tex]\( x \in [-4, 7] \)[/tex], queremos encontrar el intervalo al que pertenece [tex]\( 4 - 3x \)[/tex].
1. Primero evaluamos los extremos de [tex]\( x \)[/tex]:
- Si [tex]\( x = -4 \)[/tex], calculamos [tex]\( 4 - 3(-4) \)[/tex]:
[tex]\[
4 - 3(-4) = 4 + 12 = 16
\][/tex]
- Si [tex]\( x = 7 \)[/tex], calculamos [tex]\( 4 - 3(7) \)[/tex]:
[tex]\[
4 - 3(7) = 4 - 21 = -17
\][/tex]
2. Ya que estamos multiplicando por un número negativo (que invierte la desigualdad), el intervalo resultante debe ser ordenado correctamente.
- Los límites transformados son [tex]\( 16 \)[/tex] y [tex]\( -17 \)[/tex]. Esto significa que el intervalo correcto, puesto en orden normal, es:
[tex]\[
(-17, 16)
\][/tex]
Entonces, el intervalo para [tex]\( 4 - 3x \)[/tex] es [tex]\( (-17, 16) \)[/tex].
### Parte (b)
Dado que [tex]\( \frac{2x - 3}{4} \)[/tex] está en el intervalo [tex]\( ]1, 4] \)[/tex], queremos encontrar el intervalo al que pertenece [tex]\( x \)[/tex].
1. Resolvemos la desigualdad para los extremos del intervalo [tex]\( ]1, 4] \)[/tex]:
- [tex]\( \frac{2x - 3}{4} > 1 \)[/tex]:
[tex]\[
2x - 3 > 4 \cdot 1
\][/tex]
[tex]\[
2x - 3 > 4
\][/tex]
[tex]\[
2x > 4 + 3
\][/tex]
[tex]\[
2x > 7
\][/tex]
[tex]\[
x > \frac{7}{2}
\][/tex]
[tex]\[
x > 3.5
\][/tex]
- [tex]\( \frac{2x - 3}{4} \leq 4 \)[/tex]:
[tex]\[
2x - 3 \leq 4 \cdot 4
\][/tex]
[tex]\[
2x - 3 \leq 16
\][/tex]
[tex]\[
2x \leq 16 + 3
\][/tex]
[tex]\[
2x \leq 19
\][/tex]
[tex]\[
x \leq \frac{19}{2}
\][/tex]
[tex]\[
x \leq 9.5
\][/tex]
2. Combinando los resultados, obtenemos que [tex]\( x \)[/tex] está en el intervalo:
[tex]\[
(3.5, 9.5)
\][/tex]
Por lo tanto, el intervalo para [tex]\( x \)[/tex] es [tex]\( (3.5, 9.5) \)[/tex].
### Resumen
- Parte (a): Si [tex]\( x \in [-4, 7] \)[/tex], entonces [tex]\( 4 - 3x \in (-17, 16) \)[/tex].
- Parte (b): Si [tex]\(\frac{2x - 3}{4} \in ]1, 4] \)[/tex], entonces [tex]\( x \in (3.5, 9.5) \)[/tex].
