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Consider the equation [tex]|2x + 3| = -x - 3[/tex] and perform the following tasks:

a) Analyze the signs of the equation and divide the problem into two equations.
b) Test the values found for [tex]x[/tex], substituting them into the given equation.

Sagot :

GinnyAnsweridn
Claro, vamos analisar a equação [tex]\( |2x + 3| = -x - 3 \)[/tex] passo a passo.

### a) Análise dos sinais da equação e divisão em duas equações

A equação fornecida é uma equação modular. Vamos considerar os dois casos possíveis para a expressão dentro do valor absoluto:

1. Caso 1: [tex]\( 2x + 3 \geq 0 \)[/tex]
Quando a expressão dentro da função valor absoluto é não-negativa ([tex]\( 2x + 3 \geq 0 \)[/tex]), o valor absoluto pode ser removido sem alterar a expressão. Desta forma, temos:

[tex]\[ 2x + 3 = -x - 3 \][/tex]

2. Caso 2: [tex]\( 2x + 3 < 0 \)[/tex]
Quando a expressão dentro da função valor absoluto é negativa ([tex]\( 2x + 3 < 0 \)[/tex]), a função valor absoluto inverte o sinal da expressão. Portanto, temos:

[tex]\[ -(2x + 3) = -x - 3 \Rightarrow -2x - 3 = -x - 3 \][/tex]

Agora, resolvemos cada uma dessas equações para encontrar os possíveis valores de [tex]\( x \)[/tex].

### Resolvendo as equações

1. Resolvendo a primeira equação:
[tex]\[ 2x + 3 = -x - 3 \][/tex]

Vamos isolar [tex]\( x \)[/tex]:

[tex]\[ 2x + x = -3 - 3 \][/tex]

[tex]\[ 3x = -6 \][/tex]

[tex]\[ x = -2 \][/tex]

2. Resolvendo a segunda equação:
[tex]\[ -2x - 3 = -x - 3 \][/tex]

Simplificando:

[tex]\[ -2x + x = -3 + 3 \][/tex]

[tex]\[ -x = 0 \][/tex]

[tex]\[ x = 0 \][/tex]

Assim, temos os valores candidatos para [tex]\( x \)[/tex]: [tex]\(-2\)[/tex] e [tex]\(0\)[/tex].

### b) Teste dos valores encontrados para [tex]\( x \)[/tex], substituindo-os na equação dada

Vamos testar se os valores encontrados satisfazem a equação original [tex]\( |2x + 3| = -x - 3 \)[/tex].

#### Teste para [tex]\( x = -2 \)[/tex]:

Substituindo [tex]\( x = -2 \)[/tex]:

[tex]\[ |2(-2) + 3| = -(-2) - 3 \][/tex]

[tex]\[ |-4 + 3| = 2 - 3 \][/tex]

[tex]\[ | -1| = -1 \][/tex]

[tex]\[ 1 \neq -1 \][/tex]

Portanto, [tex]\( x = -2 \)[/tex] não é uma solução válida.

#### Teste para [tex]\( x = 0 \)[/tex]:

Substituindo [tex]\( x = 0 \)[/tex]:

[tex]\[ |2(0) + 3| = -(0) - 3 \][/tex]

[tex]\[ |0 + 3| = -3 \][/tex]

[tex]\[ |3| = -3 \][/tex]

[tex]\[ 3 \neq -3 \][/tex]

Portanto, [tex]\( x = 0 \)[/tex] não é uma solução válida.

### Conclusão

Os valores encontrados para [tex]\( x \)[/tex] ([tex]\(-2\)[/tex] e [tex]\(0\)[/tex]) não satisfazem a equação original [tex]\( |2x + 3| = -x - 3 \)[/tex]. Portanto, não há soluções reais para esta equação.
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