Explore a diverse range of topics and get expert answers on IDNLearn.com. Our platform offers reliable and detailed answers, ensuring you have the information you need.

Determine the turning point of the following function:

[tex]\[ f(x) = 4x + x^2 - 2x \][/tex]


Sagot :

Untuk menentukan titik balik dari fungsi [tex]\( f(x) = 4x + x^2 - 2x \)[/tex], kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Sederhanakan Fungsi:
[tex]\[ f(x) = 4x + x^2 - 2x = x^2 + 2x \][/tex]

2. Hitung Turunan Pertama:
[tex]\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x) = 2x + 2 \][/tex]

3. Cari Titik Kritis (titik di mana turunan pertama sama dengan nol):
[tex]\[ 2x + 2 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 2x = -2 \][/tex]
[tex]\[ x = -1 \][/tex]

Jadi, [tex]\( x = -1 \)[/tex] adalah titik kritis kita.

4. Hitung Turunan Kedua:
[tex]\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(2x + 2) = 2 \][/tex]

5. Gunakan Uji Turunan Kedua untuk menentukan sifat titik kritis tersebut:
- Jika [tex]\( f''(x) > 0 \)[/tex], maka fungsi cekung ke atas dan [tex]\( x = -1 \)[/tex] adalah titik minimum lokal.
- Jika [tex]\( f''(x) < 0 \)[/tex], maka fungsi cekung ke bawah dan [tex]\( x = -1 \)[/tex] adalah titik maksimum lokal.
- Jika [tex]\( f''(x) = 0 \)[/tex], uji lebih lanjut diperlukan.

Dari turunan kedua kita peroleh:
[tex]\[ f''(-1) = 2 \][/tex]

Karena [tex]\( 2 > 0 \)[/tex], maka fungsi cekung ke atas pada [tex]\( x = -1 \)[/tex], dan [tex]\( x = -1 \)[/tex] adalah titik minimum lokal.

6. Kesimpulan:
Titik balik fungsi [tex]\( f(x) = 4x + x^2 - 2x \)[/tex] adalah: [tex]\( x = -1 \)[/tex], yang merupakan titik minimum lokal.