Claro, vamos resolver essa questão passo a passo.
### Conjuntos Dados:
- Conjunto [tex]\(A = [1, 3[\)[/tex]
- Conjunto [tex]\(B = ]2, 9]\)[/tex]
### a) União dos conjuntos [tex]\(A \cup B\)[/tex]:
A união de dois conjuntos [tex]\(A\)[/tex] e [tex]\(B\)[/tex] inclui todos os elementos que estão em [tex]\(A\)[/tex], todos os elementos que estão em [tex]\(B\)[/tex], e todos os elementos que estão em ambos os conjuntos. Graficamente, a união de [tex]\(A\)[/tex] e [tex]\(B\)[/tex] seria todos os valores que pertencem a pelo menos um dos conjuntos.
No caso dos conjuntos [tex]\(A\)[/tex] e [tex]\(B\)[/tex]:
- [tex]\(A\)[/tex] começa em [tex]\(1\)[/tex] (inclusivo) e vai até [tex]\(3\)[/tex] (exclusivo), o que significa que [tex]\(A\)[/tex] inclui todos os números entre [tex]\(1\)[/tex] e [tex]\(3\)[/tex], não incluindo o [tex]\(3\)[/tex] em si.
- [tex]\(B\)[/tex] começa depois de [tex]\(2\)[/tex] (exclusivo) e vai até [tex]\(9\)[/tex] (inclusivo), o que significa que [tex]\(B\)[/tex] inclui todos os números entre [tex]\(2\)[/tex] e [tex]\(9\)[/tex], não incluindo o [tex]\(2\)[/tex] em si.
A união [tex]\(A \cup B\)[/tex] irá então começar na menor fronteira possível (1) e estender-se até a maior fronteira (infinito, porque [tex]\(A\)[/tex] não tem um limite superior fechado). Assim, temos:
[tex]\[ A \cup B = [1, \infty) \][/tex]
### b) Interseção dos conjuntos [tex]\(A \cap B\)[/tex]:
A interseção de dois conjuntos [tex]\(A\)[/tex] e [tex]\(B\)[/tex] inclui apenas os elementos que estão em ambos os conjuntos.
No caso dos conjuntos [tex]\(A\)[/tex] e [tex]\(B\)[/tex]:
- Para que um valor esteja na interseção, ele deve estar em [tex]\(A\)[/tex] e em [tex]\(B\)[/tex] simultaneamente.
- [tex]\(A\)[/tex] contém valores no intervalo [tex]\( [1, 3[ \)[/tex].
- [tex]\(B\)[/tex] contém valores no intervalo [tex]\( ]2, 9] \)[/tex].
A interseção [tex]\(A \cap B\)[/tex] será então os valores que estão em ambos esses intervalos, o que significa começar no maior início possível (logo após [tex]\(2\)[/tex] devido ao início de [tex]\(B\)[/tex]) e estender-se ao menor limite superior possível. Esses valores estão no intervalo:
[tex]\[ A \cap B = (2, 9] \][/tex]
Então, resumidamente:
- [tex]\( A \cup B = [1, \infty) \)[/tex]
- [tex]\( A \cap B = (2, 9] \)[/tex]
