Para resolver el problema, comencemos utilizando la información proporcionada: [tex]\(a + b = 0\)[/tex] y [tex]\(ab = 3\)[/tex].
1. Dado que [tex]\(a + b = 0\)[/tex], podemos expresar [tex]\(b\)[/tex] en términos de [tex]\(a\)[/tex] como:
[tex]\[
b = -a
\][/tex]
2. Necesitamos sustituir esta expresión en la ecuación [tex]\((a^2 + b^2) + 3a + 3b\)[/tex]:
[tex]\[
(a^2 + b^2) + 3a + 3b
\][/tex]
3. Sustituimos [tex]\(b = -a\)[/tex] en [tex]\(a^2 + b^2\)[/tex]:
[tex]\[
a^2 + b^2 = a^2 + (-a)^2 = a^2 + a^2 = 2a^2
\][/tex]
4. Ahora, sustituimos [tex]\(b = -a\)[/tex] en [tex]\(3a + 3b\)[/tex]:
[tex]\[
3a + 3b = 3a + 3(-a) = 3a - 3a = 0
\][/tex]
5. Sumamos las expresiones resultantes:
[tex]\[
(a^2 + b^2) + 3a + 3b = 2a^2 + 0 = 2a^2
\][/tex]
6. Utilizamos la información adicional de que [tex]\(ab = 3\)[/tex]. Como [tex]\(ab = 3\)[/tex] y [tex]\(b = -a\)[/tex], entonces:
[tex]\[
a(-a) = 3 \implies -a^2 = 3 \implies a^2 = -3
\][/tex]
Sin embargo, esto sólo nos confirma que [tex]\(a^2\)[/tex] es negativo. Asegurándonos de mantener la consistencia con los resultados ya establecidos, sabemos que la expresión final es [tex]\(2a^2\)[/tex].
Llevando este valor [tex]\(2a^2\)[/tex] como el resultado numérico y verificando que los cálculos y sustituciones sean consistentes, finalmente obtenemos:
[tex]\[
2a^2
\][/tex]
Por lo tanto, la solución a la expresión dada es:
[tex]\[
(2a^2, 2a^2)
\][/tex]
La respuesta correcta es:
[tex]\[
(2a^2, 2a^2)
\][/tex]
