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Sagot :
Para resolver este problema, debemos calcular:
1. El área de la base del prisma.
2. La altura del prisma.
3. El área total del prisma.
4. El volumen del prisma.
### Paso 1: Calcular el área de la base del prisma
La base del prisma es un triángulo equilátero con una longitud de lado de 4 metros. La altura de un triángulo equilátero se puede calcular usando la fórmula [tex]\[(\sqrt{3}/2) \text{longitud del lado}\][/tex].
[tex]\[ \text{Altura del triángulo} = (\sqrt{3}/2) 4 \approx 3.46 \, \text{m} \][/tex]
El área del triángulo equilátero se puede calcular con la fórmula [tex]\[(1/2) \text{base} \text{altura}\][/tex]:
[tex]\[ \text{Área del triángulo} = (1/2) 4 3.46 \approx 6.93 \, \text{m}^2 \][/tex]
### Paso 2: Calcular la altura del prisma
La altura del prisma se puede calcular utilizando la longitud de la arista lateral (6 metros) y el ángulo que forma con la base (30 grados). Utilizamos la función seno para encontrar esta altura, dado que [tex]\[\text{altura} = \text{arista lateral} \sin(\text{ángulo})\][/tex]:
[tex]\[ \text{Altura del prisma} = 6 \sin(30^\circ) = 6 0.5 = 3 \, \text{m} \][/tex]
### Paso 3: Calcular el área total del prisma
El prisma tiene tres caras laterales, cada una de las cuales es un rectángulo con una longitud de lado de 4 metros y una altura de 6 metros. La superficie lateral total se puede calcular como:
[tex]\[ \text{Área lateral} = 3 (\text{base} \text{lateral}) = 3 4 6 = 72 \, \text{m}^2 \][/tex]
El área total del prisma incluye las áreas de las dos bases:
[tex]\[ \text{Área total de la base} = 2 \text{Área del triángulo} = 2 6.93 \approx 13.86 \, \text{m}^2 \][/tex]
[tex]\[ \text{Área total del prisma} = \text{Área lateral} + \text{Área total de la base} = 72 + 13.86 = 85.86 \, \text{m}^2 \][/tex]
### Paso 4: Calcular el volumen del prisma
El volumen del prisma se puede calcular usando la fórmula [tex]\[\text{volumen} = \text{área de la base} \text{altura del prisma}\][/tex]:
[tex]\[ \text{Volumen del prisma} = 6.93 \, \text{m}^2 * 3 \, \text{m} = 20.78 \, \text{m}^3 \][/tex]
### Resumen
- El área total del prisma es de 85.86 m².
- El volumen del prisma es de 20.78 m³.
1. El área de la base del prisma.
2. La altura del prisma.
3. El área total del prisma.
4. El volumen del prisma.
### Paso 1: Calcular el área de la base del prisma
La base del prisma es un triángulo equilátero con una longitud de lado de 4 metros. La altura de un triángulo equilátero se puede calcular usando la fórmula [tex]\[(\sqrt{3}/2) \text{longitud del lado}\][/tex].
[tex]\[ \text{Altura del triángulo} = (\sqrt{3}/2) 4 \approx 3.46 \, \text{m} \][/tex]
El área del triángulo equilátero se puede calcular con la fórmula [tex]\[(1/2) \text{base} \text{altura}\][/tex]:
[tex]\[ \text{Área del triángulo} = (1/2) 4 3.46 \approx 6.93 \, \text{m}^2 \][/tex]
### Paso 2: Calcular la altura del prisma
La altura del prisma se puede calcular utilizando la longitud de la arista lateral (6 metros) y el ángulo que forma con la base (30 grados). Utilizamos la función seno para encontrar esta altura, dado que [tex]\[\text{altura} = \text{arista lateral} \sin(\text{ángulo})\][/tex]:
[tex]\[ \text{Altura del prisma} = 6 \sin(30^\circ) = 6 0.5 = 3 \, \text{m} \][/tex]
### Paso 3: Calcular el área total del prisma
El prisma tiene tres caras laterales, cada una de las cuales es un rectángulo con una longitud de lado de 4 metros y una altura de 6 metros. La superficie lateral total se puede calcular como:
[tex]\[ \text{Área lateral} = 3 (\text{base} \text{lateral}) = 3 4 6 = 72 \, \text{m}^2 \][/tex]
El área total del prisma incluye las áreas de las dos bases:
[tex]\[ \text{Área total de la base} = 2 \text{Área del triángulo} = 2 6.93 \approx 13.86 \, \text{m}^2 \][/tex]
[tex]\[ \text{Área total del prisma} = \text{Área lateral} + \text{Área total de la base} = 72 + 13.86 = 85.86 \, \text{m}^2 \][/tex]
### Paso 4: Calcular el volumen del prisma
El volumen del prisma se puede calcular usando la fórmula [tex]\[\text{volumen} = \text{área de la base} \text{altura del prisma}\][/tex]:
[tex]\[ \text{Volumen del prisma} = 6.93 \, \text{m}^2 * 3 \, \text{m} = 20.78 \, \text{m}^3 \][/tex]
### Resumen
- El área total del prisma es de 85.86 m².
- El volumen del prisma es de 20.78 m³.
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