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Sagot :
Para resolver este problema, vamos a desglosar el producto [tex]\( 45^n \cdot 18 \)[/tex] y determinar sus factores primos. Luego, utilizaremos estos factores para calcular cuántos divisores tiene y finalmente determinaremos cuántos de esos divisores no son 15.
1. Descomposición en factores primos:
- [tex]\( 45 = 3^2 \cdot 5 \)[/tex]
- [tex]\( 18 = 2 \cdot 3^2 \)[/tex]
Entonces,
[tex]\[ 45^n = (3^2 \cdot 5)^n = 3^{2n} \cdot 5^n \][/tex]
y
[tex]\[ 45^n \cdot 18 = 3^{2n} \cdot 5^n \cdot (2 \cdot 3^2) = 2^1 \cdot 3^{2+2n} \cdot 5^n \][/tex]
2. Número de divisores del número resultante:
Podemos encontrar el número total de divisores sumando 1 a cada uno de los exponentes de los factores primos y luego multiplicando:
- El exponente de 2 es 1, así que los posibles valores son [tex]\( 0 \)[/tex] y [tex]\( 1 \)[/tex]. Número total: [tex]\( 1 + 1 = 2 \)[/tex]
- El exponente de 3 es [tex]\( 2n + 2 \)[/tex]. Número total: [tex]\( 2n + 2 + 1 = 2n + 3 \)[/tex]
- El exponente de 5 es [tex]\( n \)[/tex]. Número total: [tex]\( n + 1 \)[/tex]
Así que el número total de divisores es:
[tex]\[ (1 + 1)(2n + 2 + 1)(n + 1) = (2)(2n + 3)(n + 1) \][/tex]
Esto da un total de [tex]\( 20 \)[/tex] divisores cuando [tex]\( n = 1 \)[/tex].
3. Exclusión de los divisores de 15:
Primero, observamos cuántos de estos divisores son múltiples de 15. Para ello debemos considerar:
- [tex]\( 15 = 3 \cdot 5 \)[/tex], así que los exponentes para cualquier divisor múltiple de 15 deben ser:
- [tex]\( 3^a \)[/tex] donde [tex]\( a \)[/tex] puede variar de [tex]\( 1 \)[/tex] a [tex]\( 2n+2 \)[/tex]
- [tex]\( 5^b \)[/tex] donde [tex]\( b \)[/tex] puede variar de [tex]\( 1 \)[/tex] a [tex]\( n \)[/tex]
- De nuevo, tomamos el número total de combinaciones:
[tex]\[ (2n + 2)(n + 1) \][/tex]
Esto da [tex]\( 10 \)[/tex] cuando [tex]\( n = 1 \)[/tex].
4. Contrarrestamos las combinaciones repetidas:
Finalmente, restamos las combinaciones repetidas y sumamos 1 (consideramos 15 que se resta dos veces):
[tex]\[ 20 - 10 + 1 = 11 \][/tex]
Entonces, la cantidad de divisores que no son 15 es 11. Sin importar el valor de [tex]\( n \)[/tex].
La opción correcta, comparando con las ofertas dadas en la pregunta, es la que se acerca más al proceso de redondeo. Así, podemos decir:
- Opciones dadas: [tex]\( 3(n+1) \)[/tex], [tex]\( 4n(n+1) \)[/tex], [tex]\( 6(n+1) \)[/tex], [tex]\( 6n \)[/tex], [tex]\( 12(n+1) \)[/tex]
Buscando el valor más cercano a [tex]\( 11 \)[/tex] comparando con [tex]\( n+1 \)[/tex], encontramos:
[tex]\[ 6(n+1) = 6 \cdot (1+1) = 6 \cdot 2 = 12 \][/tex]
Entonces:
- Correct choice: 11
Aquí no hay una coincidencia directa con las opciones dadas. Por favor, revisa si hay algún error en el embellecimiento que pueda estar comprobado otra vez respuestas exáctas [tex]\( 6(n+1) = 12(n+1) – (opciones similares\)[/tex] - but note best match. Option comparison dynamic – asking context near could prompt compatibility authenticated relooking needs adjusting mistakes).
1. Descomposición en factores primos:
- [tex]\( 45 = 3^2 \cdot 5 \)[/tex]
- [tex]\( 18 = 2 \cdot 3^2 \)[/tex]
Entonces,
[tex]\[ 45^n = (3^2 \cdot 5)^n = 3^{2n} \cdot 5^n \][/tex]
y
[tex]\[ 45^n \cdot 18 = 3^{2n} \cdot 5^n \cdot (2 \cdot 3^2) = 2^1 \cdot 3^{2+2n} \cdot 5^n \][/tex]
2. Número de divisores del número resultante:
Podemos encontrar el número total de divisores sumando 1 a cada uno de los exponentes de los factores primos y luego multiplicando:
- El exponente de 2 es 1, así que los posibles valores son [tex]\( 0 \)[/tex] y [tex]\( 1 \)[/tex]. Número total: [tex]\( 1 + 1 = 2 \)[/tex]
- El exponente de 3 es [tex]\( 2n + 2 \)[/tex]. Número total: [tex]\( 2n + 2 + 1 = 2n + 3 \)[/tex]
- El exponente de 5 es [tex]\( n \)[/tex]. Número total: [tex]\( n + 1 \)[/tex]
Así que el número total de divisores es:
[tex]\[ (1 + 1)(2n + 2 + 1)(n + 1) = (2)(2n + 3)(n + 1) \][/tex]
Esto da un total de [tex]\( 20 \)[/tex] divisores cuando [tex]\( n = 1 \)[/tex].
3. Exclusión de los divisores de 15:
Primero, observamos cuántos de estos divisores son múltiples de 15. Para ello debemos considerar:
- [tex]\( 15 = 3 \cdot 5 \)[/tex], así que los exponentes para cualquier divisor múltiple de 15 deben ser:
- [tex]\( 3^a \)[/tex] donde [tex]\( a \)[/tex] puede variar de [tex]\( 1 \)[/tex] a [tex]\( 2n+2 \)[/tex]
- [tex]\( 5^b \)[/tex] donde [tex]\( b \)[/tex] puede variar de [tex]\( 1 \)[/tex] a [tex]\( n \)[/tex]
- De nuevo, tomamos el número total de combinaciones:
[tex]\[ (2n + 2)(n + 1) \][/tex]
Esto da [tex]\( 10 \)[/tex] cuando [tex]\( n = 1 \)[/tex].
4. Contrarrestamos las combinaciones repetidas:
Finalmente, restamos las combinaciones repetidas y sumamos 1 (consideramos 15 que se resta dos veces):
[tex]\[ 20 - 10 + 1 = 11 \][/tex]
Entonces, la cantidad de divisores que no son 15 es 11. Sin importar el valor de [tex]\( n \)[/tex].
La opción correcta, comparando con las ofertas dadas en la pregunta, es la que se acerca más al proceso de redondeo. Así, podemos decir:
- Opciones dadas: [tex]\( 3(n+1) \)[/tex], [tex]\( 4n(n+1) \)[/tex], [tex]\( 6(n+1) \)[/tex], [tex]\( 6n \)[/tex], [tex]\( 12(n+1) \)[/tex]
Buscando el valor más cercano a [tex]\( 11 \)[/tex] comparando con [tex]\( n+1 \)[/tex], encontramos:
[tex]\[ 6(n+1) = 6 \cdot (1+1) = 6 \cdot 2 = 12 \][/tex]
Entonces:
- Correct choice: 11
Aquí no hay una coincidencia directa con las opciones dadas. Por favor, revisa si hay algún error en el embellecimiento que pueda estar comprobado otra vez respuestas exáctas [tex]\( 6(n+1) = 12(n+1) – (opciones similares\)[/tex] - but note best match. Option comparison dynamic – asking context near could prompt compatibility authenticated relooking needs adjusting mistakes).
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