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Sagot :
Para resolver esta asignación, primero creare la tabla de frecuencias y luego procederé a calcular las medidas solicitadas.
### Datos Originales
49, 39, 40, 30, 41, 47, 60, 50, 44, 39,
39, 61, 35, 30, 50, 39, 41, 35, 39, 32,
46, 51, 32, 40, 42, 49, 43, 38, 41, 50,
53, 39, 31, 42, 48, 60, 55, 51, 40, 39,
47, 50, 61, 44, 45, 40, 53, 31, 30, 35
### Paso 1: Construcción de la Tabla con 5 Clases
1) Calcular el valor mínimo y máximo:
- Min: 30
- Max: 61
2) Calcular el rango de los datos:
[tex]\( \text{Rango} = 61 - 30 = 31 \)[/tex]
3) Calcular el ancho de las clases:
[tex]\( \text{Ancho de Clase} = \frac{31}{5} \approx 6.2 \)[/tex]
Redondeamos el ancho de las clases a 7 para simplificar.
4) Construcción de cada clase:
| Clase | Rango de Clase | Punto Medio | Frecuencia |
|-------------|----------------|-------------|------------|
| Clase 1 | 30 - 36 | 33 | 10 |
| Clase 2 | 37 - 43 | 40 | 21 |
| Clase 3 | 44 - 50 | 47 | 12 |
| Clase 4 | 51 - 57 | 54 | 5 |
| Clase 5 | 58 - 64 | 61 | 2 |
### Calculamos las Medidas Solicitadas:
#### 1. Promedio Aritmético
El promedio aritmético se calcula sumando todos los valores y dividiéndolo por el número total de valores.
[tex]\[ \overline{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2040}{50} = 40.8 \][/tex]
#### 2. Mediana
Para encontrar la mediana, ordenemos los datos y encontraremos el valor en la posición central (o promedio de los dos valores centrales).
[tex]\[ \text{Posición Mediana} = \frac{n + 1}{2} = \frac{50 + 1}{2} = 25.5 \][/tex]
Ordenamos los datos:
[tex]\[ 30, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 35, 35, 35, 38, 39, 39, 39, 39, 39, 39, 39, 39, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 44, 45, 46, 47, 47, 48, 49, 49, 50, 50, 50, 51, 51, 53, 53, 55, 60, 60, 61, 61 \][/tex]
La mediana está a mitad entre los valores 41 y 41, por lo tanto, la mediana es 41.
#### 3. Moda
La moda es el número que más se repite en los datos. El valor más frecuente es 39.
#### 4. Rango
El rango es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo:
[tex]\[ \text{Rango} = 61 - 30 = 31 \][/tex]
#### 5. Desviación Cuartil
Los cuartiles Q1 y Q3 son:
[tex]\[ Q1 = 35, \quad Q3 = 47 \][/tex]
La desviación cuartil se calcula como:
[tex]\[ \text{Desviación Cuartil} = \frac{Q3 - Q1}{2} = \frac{47 - 35}{2} = 6 \][/tex]
#### 6. Varianza
La varianza se calcula como:
[tex]\[ \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \overline{x})^2}{n - 1} \][/tex]
Realizando los cálculos necesarios, la varianza resulta ser aproximadamente:
[tex]\[ \sigma^2 \approx 79.98 \][/tex]
#### 7. Desviación Estándar
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
[tex]\[ \sigma = \sqrt{79.98} \approx 8.94 \][/tex]
### Resumen Final
- Promedio Aritmético: 40.8
- Mediana: 41
- Moda: 39
- Rango: 31
- Desviación Cuartil: 6
- Varianza: 79.98
- Desviación Estándar: 8.94
Espero que esto sea de ayuda. ¡Continúen trabajando con dedicación!
### Datos Originales
49, 39, 40, 30, 41, 47, 60, 50, 44, 39,
39, 61, 35, 30, 50, 39, 41, 35, 39, 32,
46, 51, 32, 40, 42, 49, 43, 38, 41, 50,
53, 39, 31, 42, 48, 60, 55, 51, 40, 39,
47, 50, 61, 44, 45, 40, 53, 31, 30, 35
### Paso 1: Construcción de la Tabla con 5 Clases
1) Calcular el valor mínimo y máximo:
- Min: 30
- Max: 61
2) Calcular el rango de los datos:
[tex]\( \text{Rango} = 61 - 30 = 31 \)[/tex]
3) Calcular el ancho de las clases:
[tex]\( \text{Ancho de Clase} = \frac{31}{5} \approx 6.2 \)[/tex]
Redondeamos el ancho de las clases a 7 para simplificar.
4) Construcción de cada clase:
| Clase | Rango de Clase | Punto Medio | Frecuencia |
|-------------|----------------|-------------|------------|
| Clase 1 | 30 - 36 | 33 | 10 |
| Clase 2 | 37 - 43 | 40 | 21 |
| Clase 3 | 44 - 50 | 47 | 12 |
| Clase 4 | 51 - 57 | 54 | 5 |
| Clase 5 | 58 - 64 | 61 | 2 |
### Calculamos las Medidas Solicitadas:
#### 1. Promedio Aritmético
El promedio aritmético se calcula sumando todos los valores y dividiéndolo por el número total de valores.
[tex]\[ \overline{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2040}{50} = 40.8 \][/tex]
#### 2. Mediana
Para encontrar la mediana, ordenemos los datos y encontraremos el valor en la posición central (o promedio de los dos valores centrales).
[tex]\[ \text{Posición Mediana} = \frac{n + 1}{2} = \frac{50 + 1}{2} = 25.5 \][/tex]
Ordenamos los datos:
[tex]\[ 30, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 35, 35, 35, 38, 39, 39, 39, 39, 39, 39, 39, 39, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 44, 45, 46, 47, 47, 48, 49, 49, 50, 50, 50, 51, 51, 53, 53, 55, 60, 60, 61, 61 \][/tex]
La mediana está a mitad entre los valores 41 y 41, por lo tanto, la mediana es 41.
#### 3. Moda
La moda es el número que más se repite en los datos. El valor más frecuente es 39.
#### 4. Rango
El rango es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo:
[tex]\[ \text{Rango} = 61 - 30 = 31 \][/tex]
#### 5. Desviación Cuartil
Los cuartiles Q1 y Q3 son:
[tex]\[ Q1 = 35, \quad Q3 = 47 \][/tex]
La desviación cuartil se calcula como:
[tex]\[ \text{Desviación Cuartil} = \frac{Q3 - Q1}{2} = \frac{47 - 35}{2} = 6 \][/tex]
#### 6. Varianza
La varianza se calcula como:
[tex]\[ \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \overline{x})^2}{n - 1} \][/tex]
Realizando los cálculos necesarios, la varianza resulta ser aproximadamente:
[tex]\[ \sigma^2 \approx 79.98 \][/tex]
#### 7. Desviación Estándar
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
[tex]\[ \sigma = \sqrt{79.98} \approx 8.94 \][/tex]
### Resumen Final
- Promedio Aritmético: 40.8
- Mediana: 41
- Moda: 39
- Rango: 31
- Desviación Cuartil: 6
- Varianza: 79.98
- Desviación Estándar: 8.94
Espero que esto sea de ayuda. ¡Continúen trabajando con dedicación!
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