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Sagot :
## Partie A
On suppose que [tex]\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)[/tex] où [tex]\( a, b, c \)[/tex] et [tex]\( d \)[/tex] sont des réels tels que [tex]\( ad - bc \neq 0 \)[/tex].
### 1) Trouver les réels [tex]\( x, y, z \)[/tex] et [tex]\( t \)[/tex] tels que :
[tex]\[ A \times \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \][/tex]
Pour qu'une matrice soit l'inverse de [tex]\( A \)[/tex], il doit exister des réels [tex]\( x, y, z \)[/tex] et [tex]\( t \)[/tex] tels que le produit matriciel entre [tex]\( A \)[/tex] et l'inverse donne une matrice identité. Utilisons la formule générale de l'inverse d'une matrice [tex]\( 2 \times 2 \)[/tex] :
[tex]$ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $[/tex]
Plaçons cette matrice dans le produit matriciel et résolvons :
[tex]\[ A \times \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \][/tex]
Calculons chaque élément du produit :
1. Première ligne, première colonne :
[tex]\[ ax + bz = 1 \][/tex]
2. Première ligne, deuxième colonne :
[tex]\[ ay + bt = 0 \][/tex]
3. Deuxième ligne, première colonne :
[tex]\[ cx + dz = 0 \][/tex]
4. Deuxième ligne, deuxième colonne :
[tex]\[ cy + dt = 1 \][/tex]
Pour trouver [tex]\( x, y, z \)[/tex] et [tex]\( t \)[/tex], utilisons le fait que nous connaissons l'inverse de [tex]\( A \)[/tex]. Ainsi, identifions :
[tex]\[ \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \][/tex]
Donc :
[tex]\[ x = \frac{d}{ad - bc}, \quad y = \frac{-b}{ad - bc}, \quad z = \frac{-c}{ad - bc}, \quad t = \frac{a}{ad - bc} \][/tex]
### 2) Vérifier que [tex]\( A \)[/tex] admet pour matrice inverse :
[tex]\[ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \][/tex]
Pour vérifier cela, multiplions [tex]\( A \)[/tex] par l'expression hypothétique de son inverse et assurons-nous que nous obtenons la matrice identité :
[tex]\[ A \times A^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \][/tex]
Calculons chaque élément du produit :
1. Première ligne, première colonne :
[tex]\[ a \cdot d + b(-c) = ad - bc \][/tex]
2. Première ligne, deuxième colonne :
[tex]\[ a(-b) + b \cdot a = -ab + ab = 0 \][/tex]
3. Deuxième ligne, première colonne :
[tex]\[ c \cdot d + d(-c) = cd - cd = 0 \][/tex]
4. Deuxième ligne, deuxième colonne :
[tex]\[ c(-b) + d \cdot a = -cb + da = ad - bc \][/tex]
Le résultat est donc :
[tex]\[ A \times A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \][/tex]
Ainsi, nous avons vérifié que l’expression :
[tex]\[ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \][/tex]
est bien l'inverse de la matrice [tex]\( A \)[/tex].
On suppose que [tex]\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)[/tex] où [tex]\( a, b, c \)[/tex] et [tex]\( d \)[/tex] sont des réels tels que [tex]\( ad - bc \neq 0 \)[/tex].
### 1) Trouver les réels [tex]\( x, y, z \)[/tex] et [tex]\( t \)[/tex] tels que :
[tex]\[ A \times \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \][/tex]
Pour qu'une matrice soit l'inverse de [tex]\( A \)[/tex], il doit exister des réels [tex]\( x, y, z \)[/tex] et [tex]\( t \)[/tex] tels que le produit matriciel entre [tex]\( A \)[/tex] et l'inverse donne une matrice identité. Utilisons la formule générale de l'inverse d'une matrice [tex]\( 2 \times 2 \)[/tex] :
[tex]$ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $[/tex]
Plaçons cette matrice dans le produit matriciel et résolvons :
[tex]\[ A \times \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \][/tex]
Calculons chaque élément du produit :
1. Première ligne, première colonne :
[tex]\[ ax + bz = 1 \][/tex]
2. Première ligne, deuxième colonne :
[tex]\[ ay + bt = 0 \][/tex]
3. Deuxième ligne, première colonne :
[tex]\[ cx + dz = 0 \][/tex]
4. Deuxième ligne, deuxième colonne :
[tex]\[ cy + dt = 1 \][/tex]
Pour trouver [tex]\( x, y, z \)[/tex] et [tex]\( t \)[/tex], utilisons le fait que nous connaissons l'inverse de [tex]\( A \)[/tex]. Ainsi, identifions :
[tex]\[ \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \][/tex]
Donc :
[tex]\[ x = \frac{d}{ad - bc}, \quad y = \frac{-b}{ad - bc}, \quad z = \frac{-c}{ad - bc}, \quad t = \frac{a}{ad - bc} \][/tex]
### 2) Vérifier que [tex]\( A \)[/tex] admet pour matrice inverse :
[tex]\[ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \][/tex]
Pour vérifier cela, multiplions [tex]\( A \)[/tex] par l'expression hypothétique de son inverse et assurons-nous que nous obtenons la matrice identité :
[tex]\[ A \times A^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \][/tex]
Calculons chaque élément du produit :
1. Première ligne, première colonne :
[tex]\[ a \cdot d + b(-c) = ad - bc \][/tex]
2. Première ligne, deuxième colonne :
[tex]\[ a(-b) + b \cdot a = -ab + ab = 0 \][/tex]
3. Deuxième ligne, première colonne :
[tex]\[ c \cdot d + d(-c) = cd - cd = 0 \][/tex]
4. Deuxième ligne, deuxième colonne :
[tex]\[ c(-b) + d \cdot a = -cb + da = ad - bc \][/tex]
Le résultat est donc :
[tex]\[ A \times A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \][/tex]
Ainsi, nous avons vérifié que l’expression :
[tex]\[ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \][/tex]
est bien l'inverse de la matrice [tex]\( A \)[/tex].
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