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Sagot :
Para resolver la ecuación diferencial [tex]\( y''' - 2y'' + y' = 2 - 24e^x + 40e^{5x} \)[/tex], con las condiciones iniciales [tex]\( y(0) = \frac{1}{2}, y'(0) = \frac{5}{2}, y''(0) = -\frac{9}{2} \)[/tex], seguiremos un método paso a paso.
### 1. Encontrar la solución complementaria:
Primero, encontraremos la solución de la ecuación homogénea asociada [tex]\( y''' - 2y'' + y' = 0 \)[/tex].
1. Escribimos la ecuación característica:
[tex]\[ r^3 - 2r^2 + r = 0 \][/tex]
2. Factorizamos:
[tex]\[ r(r^2 - 2r + 1) = 0 \][/tex]
3. Resolviendo la ecuación factorizada, obtenemos:
[tex]\[ r(r-1)^2 = 0 \][/tex]
De aquí obtenemos las raíces: [tex]\( r = 0 \)[/tex] y [tex]\( r = 1 \)[/tex] (doble).
4. Construimos la solución general de la ecuación homogénea:
[tex]\[ y_h(x) = C_1 + C_2e^x + C_3xe^x \][/tex]
### 2. Encontrar la solución particular:
Supongamos una solución particular [tex]\(y_p(x)\)[/tex] de la forma:
[tex]\[ y_p(x) = A + Bx + Ce^x + De^{5x} \][/tex]
### 3. Determinamos los coeficientes indeterminados:
Para encontrar los coeficientes [tex]\( A, B, C, D \)[/tex], sustituimos [tex]\( y_p \)[/tex] en la ecuación no homogénea y comparamos los coeficientes de ambos lados.
1. Calculamos las derivadas necesarias:
[tex]\[ y_p' = B + Ce^x + 5De^{5x} \][/tex]
[tex]\[ y_p'' = Ce^x + 25De^{5x} \][/tex]
[tex]\[ y_p''' = Ce^x + 125De^{5x} \][/tex]
2. Sustituimos estas derivadas en la ecuación diferencial:
[tex]\[ (Ce^x + 125De^{5x}) - 2(Ce^x + 25De^{5x}) + (B + Ce^x + 5De^{5x}) = 2 - 24e^x + 40e^{5x} \][/tex]
3. Simplificamos y combinamos términos:
[tex]\[ Ce^x + 125De^{5x} - 2Ce^x - 50De^{5x} + B + Ce^x + 5De^{5x} = 2 - 24e^x + 40e^{5x} \][/tex]
[tex]\[ B - 24e^x + 80De^{5x} = 2 - 24e^x + 40e^{5x} \][/tex]
4. Comparando coeficientes, obtenemos:
[tex]\[ B = 2 \][/tex]
[tex]\[ 80D = 40 \Rightarrow D = \frac{1}{2} \][/tex]
[tex]\[ C - 2C + C = -24 \Rightarrow C = -24 \][/tex]
Así, la solución particular es:
[tex]\[ y_p(x) = 2x - 12e^x + \frac{e^{5x}}{2} \][/tex]
### 4. Solución general:
La solución general es la suma de la solución homogénea y la solución particular:
[tex]\[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2e^x + C_3xe^x + 2x - 12e^x + \frac{e^{5x}}{2} \][/tex]
### 5. Aplicación de condiciones iniciales:
Usamos las condiciones iniciales para encontrar [tex]\( C_1, C_2 \)[/tex] y [tex]\( C_3 \)[/tex].
1. [tex]\(y(0) = \frac{1}{2}\)[/tex]:
[tex]\[ C_1 + C_2 - 12 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies C_1 + C_2 - 12 = 0 \implies C_1 + C_2 = 12 \][/tex]
2. [tex]\(y'(0) = \frac{5}{2}\)[/tex]:
[tex]\[ C_2 + C_3 + 2 - 12 + \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \implies C_2 + C_3 - 3.5 = 0 \implies C_2 + C_3 = 3.5 \][/tex]
3. [tex]\(y''(0) = -\frac{9}{2}\)[/tex]:
[tex]\[ C_3 + C_2 - 12 + \frac{25}{2} = -\frac{9}{2} \implies C_3 + C_2 = -\frac{9}{2} + 3.5 = -9.5 \][/tex]
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos [tex]\( C_1, C_2 \)[/tex] y [tex]\( C_3 \)[/tex].
Finalmente, la solución completa de la ecuación diferencial con las condiciones dadas es:
[tex]\[ y(x) = 2x + (9 - 12x x - 11 ) e ^{x} + \frac{e^{5x}}{2} + 11 \][/tex]
### 1. Encontrar la solución complementaria:
Primero, encontraremos la solución de la ecuación homogénea asociada [tex]\( y''' - 2y'' + y' = 0 \)[/tex].
1. Escribimos la ecuación característica:
[tex]\[ r^3 - 2r^2 + r = 0 \][/tex]
2. Factorizamos:
[tex]\[ r(r^2 - 2r + 1) = 0 \][/tex]
3. Resolviendo la ecuación factorizada, obtenemos:
[tex]\[ r(r-1)^2 = 0 \][/tex]
De aquí obtenemos las raíces: [tex]\( r = 0 \)[/tex] y [tex]\( r = 1 \)[/tex] (doble).
4. Construimos la solución general de la ecuación homogénea:
[tex]\[ y_h(x) = C_1 + C_2e^x + C_3xe^x \][/tex]
### 2. Encontrar la solución particular:
Supongamos una solución particular [tex]\(y_p(x)\)[/tex] de la forma:
[tex]\[ y_p(x) = A + Bx + Ce^x + De^{5x} \][/tex]
### 3. Determinamos los coeficientes indeterminados:
Para encontrar los coeficientes [tex]\( A, B, C, D \)[/tex], sustituimos [tex]\( y_p \)[/tex] en la ecuación no homogénea y comparamos los coeficientes de ambos lados.
1. Calculamos las derivadas necesarias:
[tex]\[ y_p' = B + Ce^x + 5De^{5x} \][/tex]
[tex]\[ y_p'' = Ce^x + 25De^{5x} \][/tex]
[tex]\[ y_p''' = Ce^x + 125De^{5x} \][/tex]
2. Sustituimos estas derivadas en la ecuación diferencial:
[tex]\[ (Ce^x + 125De^{5x}) - 2(Ce^x + 25De^{5x}) + (B + Ce^x + 5De^{5x}) = 2 - 24e^x + 40e^{5x} \][/tex]
3. Simplificamos y combinamos términos:
[tex]\[ Ce^x + 125De^{5x} - 2Ce^x - 50De^{5x} + B + Ce^x + 5De^{5x} = 2 - 24e^x + 40e^{5x} \][/tex]
[tex]\[ B - 24e^x + 80De^{5x} = 2 - 24e^x + 40e^{5x} \][/tex]
4. Comparando coeficientes, obtenemos:
[tex]\[ B = 2 \][/tex]
[tex]\[ 80D = 40 \Rightarrow D = \frac{1}{2} \][/tex]
[tex]\[ C - 2C + C = -24 \Rightarrow C = -24 \][/tex]
Así, la solución particular es:
[tex]\[ y_p(x) = 2x - 12e^x + \frac{e^{5x}}{2} \][/tex]
### 4. Solución general:
La solución general es la suma de la solución homogénea y la solución particular:
[tex]\[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2e^x + C_3xe^x + 2x - 12e^x + \frac{e^{5x}}{2} \][/tex]
### 5. Aplicación de condiciones iniciales:
Usamos las condiciones iniciales para encontrar [tex]\( C_1, C_2 \)[/tex] y [tex]\( C_3 \)[/tex].
1. [tex]\(y(0) = \frac{1}{2}\)[/tex]:
[tex]\[ C_1 + C_2 - 12 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies C_1 + C_2 - 12 = 0 \implies C_1 + C_2 = 12 \][/tex]
2. [tex]\(y'(0) = \frac{5}{2}\)[/tex]:
[tex]\[ C_2 + C_3 + 2 - 12 + \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \implies C_2 + C_3 - 3.5 = 0 \implies C_2 + C_3 = 3.5 \][/tex]
3. [tex]\(y''(0) = -\frac{9}{2}\)[/tex]:
[tex]\[ C_3 + C_2 - 12 + \frac{25}{2} = -\frac{9}{2} \implies C_3 + C_2 = -\frac{9}{2} + 3.5 = -9.5 \][/tex]
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos [tex]\( C_1, C_2 \)[/tex] y [tex]\( C_3 \)[/tex].
Finalmente, la solución completa de la ecuación diferencial con las condiciones dadas es:
[tex]\[ y(x) = 2x + (9 - 12x x - 11 ) e ^{x} + \frac{e^{5x}}{2} + 11 \][/tex]
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