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Sagot :
Claro, analicemos y resolvamos cada uno de los casos por separado y expliquemos cada paso con detalle.
### Caso 4.1
Tenemos las matrices:
[tex]\[ A = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \][/tex]
[tex]\[ B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \][/tex]
Para esta sección necesitamos encontrar:
a) [tex]\( A + B \)[/tex]
b) [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
c) [tex]\( B - A \)[/tex]
#### a. [tex]\( A + B \)[/tex]
[tex]\[ A + B = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ 4 & -5 \end{pmatrix} \][/tex]
#### b. [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
[tex]\[ 2A + 3B = 2 \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 4 \\ 2 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 12 \\ 9 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 16 \\ 11 & -12 \end{pmatrix} \][/tex]
#### c. [tex]\( B - A \)[/tex]
[tex]\[ B - A = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \][/tex]
### Caso 4.2
Tenemos las matrices:
[tex]\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 0 \\ -2 & 3 & 3 \end{pmatrix} \][/tex]
[tex]\[ B = \begin{pmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -3 & 7 & 8 \end{pmatrix} \][/tex]
Para esta sección necesitamos encontrar:
a) [tex]\( A + B \)[/tex]
b) [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
c) [tex]\( B - A \)[/tex]
#### a. [tex]\( A + B \)[/tex]
[tex]\[ A + B = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 0 \\ -2 & 3 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -3 & 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -6 & 2 \\ -5 & 10 & 11 \end{pmatrix} \][/tex]
#### b. [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
[tex]\[ 2A + 3B = 2 \begin{pmatrix} 1 & -5 & 0 \\ -2 & 3 & 3 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -3 & 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -10 & 0 \\ -4 & 6 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -9 & -3 & 6 \\ -9 & 21 & 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & -13 & 6 \\ -13 & 27 & 30 \end{pmatrix} \][/tex]
#### c. [tex]\( B - A \)[/tex]
[tex]\[ B - A = \begin{pmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -3 & 7 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -5 & 0 \\ -2 & 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 4 & 2 \\ -1 & 4 & 5 \end{pmatrix} \][/tex]
### Caso 4.3
Tenemos las matrices:
[tex]\[ A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \][/tex]
[tex]\[ B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} \][/tex]
Para esta sección necesitamos encontrar:
a) [tex]\( A + B \)[/tex]
b) [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
c) [tex]\( B - A \)[/tex]
#### a. [tex]\( A + B \)[/tex]
[tex]\[ A + B = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 0 \\ -1 & -5 \end{pmatrix} \][/tex]
#### b. [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
[tex]\[ 2A + 3B = 2 \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 2 & 0 \\ 6 & -8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ 6 & 0 \\ -12 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ 8 & 0 \\ -6 & -11 \end{pmatrix} \][/tex]
#### c. [tex]\( B - A \)[/tex]
[tex]\[ B - A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \\ -7 & 3 \end{pmatrix} \][/tex]
### Caso 4.4
Tenemos las matrices:
[tex]\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \][/tex]
[tex]\[ B = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 2 \\ 4 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \][/tex]
Para esta sección necesitamos encontrar:
a) [tex]\( A + B \)[/tex]
b) [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
c) [tex]\( B - A \)[/tex]
#### a. [tex]\( A + B \)[/tex]
[tex]\[ A + B = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 6 & 2 \\ 4 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 9 & 6 \\ 4 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} \][/tex]
#### b. [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
[tex]\[ 2A + 3B = 2 \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 0 & 6 & 2 \\ 4 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 8 \\ 0 & 2 & -2 \\ 4 & 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 18 & 6 \\ 12 & 3 & 0 \\ -3 & 6 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 24 & 14 \\ 12 & 5 & -2 \\ 1 & 6 & 14 \end{pmatrix} \][/tex]
#### c. [tex]\( B - A \)[/tex]
[tex]\[ B - A = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 2 \\ 4 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -2 \\ 4 & 0 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{pmatrix} \][/tex]
Este análisis y los resultados detallados demuestran cómo se combinan las matrices [tex]\(A\)[/tex] y [tex]\(B\)[/tex] bajo diversas operaciones.
### Caso 4.1
Tenemos las matrices:
[tex]\[ A = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \][/tex]
[tex]\[ B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \][/tex]
Para esta sección necesitamos encontrar:
a) [tex]\( A + B \)[/tex]
b) [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
c) [tex]\( B - A \)[/tex]
#### a. [tex]\( A + B \)[/tex]
[tex]\[ A + B = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ 4 & -5 \end{pmatrix} \][/tex]
#### b. [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
[tex]\[ 2A + 3B = 2 \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 4 \\ 2 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 12 \\ 9 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 16 \\ 11 & -12 \end{pmatrix} \][/tex]
#### c. [tex]\( B - A \)[/tex]
[tex]\[ B - A = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \][/tex]
### Caso 4.2
Tenemos las matrices:
[tex]\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 0 \\ -2 & 3 & 3 \end{pmatrix} \][/tex]
[tex]\[ B = \begin{pmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -3 & 7 & 8 \end{pmatrix} \][/tex]
Para esta sección necesitamos encontrar:
a) [tex]\( A + B \)[/tex]
b) [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
c) [tex]\( B - A \)[/tex]
#### a. [tex]\( A + B \)[/tex]
[tex]\[ A + B = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 0 \\ -2 & 3 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -3 & 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -6 & 2 \\ -5 & 10 & 11 \end{pmatrix} \][/tex]
#### b. [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
[tex]\[ 2A + 3B = 2 \begin{pmatrix} 1 & -5 & 0 \\ -2 & 3 & 3 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -3 & 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -10 & 0 \\ -4 & 6 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -9 & -3 & 6 \\ -9 & 21 & 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & -13 & 6 \\ -13 & 27 & 30 \end{pmatrix} \][/tex]
#### c. [tex]\( B - A \)[/tex]
[tex]\[ B - A = \begin{pmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -3 & 7 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -5 & 0 \\ -2 & 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 4 & 2 \\ -1 & 4 & 5 \end{pmatrix} \][/tex]
### Caso 4.3
Tenemos las matrices:
[tex]\[ A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \][/tex]
[tex]\[ B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} \][/tex]
Para esta sección necesitamos encontrar:
a) [tex]\( A + B \)[/tex]
b) [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
c) [tex]\( B - A \)[/tex]
#### a. [tex]\( A + B \)[/tex]
[tex]\[ A + B = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 0 \\ -1 & -5 \end{pmatrix} \][/tex]
#### b. [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
[tex]\[ 2A + 3B = 2 \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 2 & 0 \\ 6 & -8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ 6 & 0 \\ -12 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ 8 & 0 \\ -6 & -11 \end{pmatrix} \][/tex]
#### c. [tex]\( B - A \)[/tex]
[tex]\[ B - A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \\ -7 & 3 \end{pmatrix} \][/tex]
### Caso 4.4
Tenemos las matrices:
[tex]\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \][/tex]
[tex]\[ B = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 2 \\ 4 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \][/tex]
Para esta sección necesitamos encontrar:
a) [tex]\( A + B \)[/tex]
b) [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
c) [tex]\( B - A \)[/tex]
#### a. [tex]\( A + B \)[/tex]
[tex]\[ A + B = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 6 & 2 \\ 4 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 9 & 6 \\ 4 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} \][/tex]
#### b. [tex]\( 2A + 3B \)[/tex]
[tex]\[ 2A + 3B = 2 \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 0 & 6 & 2 \\ 4 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 8 \\ 0 & 2 & -2 \\ 4 & 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 18 & 6 \\ 12 & 3 & 0 \\ -3 & 6 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 24 & 14 \\ 12 & 5 & -2 \\ 1 & 6 & 14 \end{pmatrix} \][/tex]
#### c. [tex]\( B - A \)[/tex]
[tex]\[ B - A = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 2 \\ 4 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -2 \\ 4 & 0 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{pmatrix} \][/tex]
Este análisis y los resultados detallados demuestran cómo se combinan las matrices [tex]\(A\)[/tex] y [tex]\(B\)[/tex] bajo diversas operaciones.
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