Para encontrar el área de superficie total de la pecera, sigamos estos pasos:
1. Identificación de variables:
- Volumen de la pecera: [tex]\( V = 108 \, m^3 \)[/tex]
- Relación entre el lado de la base y la altura: El lado de la base es el doble de la altura.
2. Definición de variables:
- Denotemos la altura como [tex]\( h \)[/tex].
- Denotemos el lado de la base como [tex]\( s \)[/tex].
3. Relación entre [tex]\( s \)[/tex] y [tex]\( h \)[/tex]:
- Sabemos que [tex]\( s = 2h \)[/tex].
4. Ecuación del volumen del prisma:
- El volumen de un prisma de base cuadrada es [tex]\( V = \text{área de la base} \times \text{altura} \)[/tex].
- La base es un cuadrado, así que su área es [tex]\( s^2 \)[/tex].
- Entonces, [tex]\( V = s^2 \times h \)[/tex].
5. Aplicando la relación y sustituyendo el volumen:
- Sustituyendo [tex]\( s = 2h \)[/tex] en la ecuación del volumen obtenemos:
[tex]\[
V = (2h)^2 \times h
\][/tex]
[tex]\[
108 = 4h^2 \times h
\][/tex]
[tex]\[
108 = 4h^3
\][/tex]
6. Resolviendo para [tex]\( h \)[/tex]:
- Para encontrar [tex]\( h \)[/tex], dividimos ambos lados de la ecuación por 4:
[tex]\[
\frac{108}{4} = h^3
\][/tex]
[tex]\[
27 = h^3
\][/tex]
- Tomando la raíz cúbica de 27:
[tex]\[
h = \sqrt[3]{27} = 3 \, m
\][/tex]
7. Calculando [tex]\( s \)[/tex]:
- Ahora calculamos el lado de la base [tex]\( s \)[/tex]:
[tex]\[
s = 2h = 2 \times 3 = 6 \, m
\][/tex]
8. Calculando el área de superficie total:
- El área de la base de la pecera:
[tex]\[
\text{Área de la base} = s^2 = 6^2 = 36 \, m^2
\][/tex]
- El área de las paredes laterales (hay 4 lados y cada uno es un rectángulo de [tex]\( s \times h \)[/tex]):
[tex]\[
\text{Área lateral} = 4 \times (s \times h) = 4 \times (6 \times 3) = 4 \times 18 = 72 \, m^2
\][/tex]
- El área de superficie total es la suma de la base y las áreas laterales:
[tex]\[
\text{Área de superficie total} = 36 + 72 = 108 \, m^2
\][/tex]
Por lo tanto, el área de superficie total de la pecera es [tex]\( 108 \, m^2 \)[/tex].
