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Sagot :
Por supuesto, vamos a resolver el problema paso a paso.
### a) Encontrar los intervalos donde [tex]\( f \)[/tex] es creciente o decreciente
Primero, derivamos la función [tex]\( f(x) \)[/tex] para encontrar su primera derivada [tex]\( f'(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x \][/tex]
La primera derivada [tex]\( f'(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 36x) = 6x^2 + 6x - 36 \][/tex]
Para encontrar los puntos críticos, igualamos [tex]\( f'(x) \)[/tex] a cero y resolvemos para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ 6x^2 + 6x - 36 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + x - 6 = 0 \][/tex]
Factorizamos la ecuación cuadrática:
[tex]\[ (x + 3)(x - 2) = 0 \][/tex]
De aquí, obtenemos los puntos críticos:
[tex]\[ x = -3 \][/tex]
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
Para determinar si la función es creciente o decreciente en los intervalos determinados por estos puntos críticos, seleccionamos puntos de prueba en cada intervalo [tex]\((-∞, -3)\)[/tex], [tex]\((-3, 2)\)[/tex] y [tex]\((2, ∞)\)[/tex]:
1. Para [tex]\( x \in (-∞, -3) \)[/tex], tomamos [tex]\( x = -4 \)[/tex]:
[tex]\[ f'(-4) = 6(-4)^2 + 6(-4) - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 \][/tex]
[tex]\( f'(-4) > 0 \)[/tex], entonces [tex]\( f \)[/tex] es creciente en [tex]\((-∞, -3)\)[/tex].
2. Para [tex]\( x \in (-3, 2) \)[/tex], tomamos [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ f'(0) = 6(0)^2 + 6(0) - 36 = -36 \][/tex]
[tex]\( f'(0) < 0 \)[/tex], entonces [tex]\( f \)[/tex] es decreciente en [tex]\((-3, 2)\)[/tex].
3. Para [tex]\( x \in (2, ∞) \)[/tex], tomamos [tex]\( x = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ f'(3) = 6(3)^2 + 6(3) - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 \][/tex]
[tex]\( f'(3) > 0 \)[/tex], entonces [tex]\( f \)[/tex] es creciente en [tex]\((2, ∞)\)[/tex].
### b) Valores máximos y mínimos locales
Para determinar si los puntos críticos son máximos o mínimos locales, evaluamos la segunda derivada [tex]\( f''(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 + 6x - 36) = 12x + 6 \][/tex]
Evaluamos [tex]\( f''(x) \)[/tex] en los puntos críticos [tex]\( x = -3 \)[/tex] y [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
1. Para [tex]\( x = -3 \)[/tex]:
[tex]\[ f''(-3) = 12(-3) + 6 = -36 + 6 = -30 \][/tex]
[tex]\( f''(-3) < 0 \)[/tex], entonces hay un máximo local en [tex]\( x = -3 \)[/tex].
2. Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ f''(2) = 12(2) + 6 = 24 + 6 = 30 \][/tex]
[tex]\( f''(2) > 0 \)[/tex], entonces hay un mínimo local en [tex]\( x = 2 \)[/tex].
Para hallar los valores de [tex]\( f \)[/tex] en estos puntos:
- Máximo local en:
[tex]\[ f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = -54 + 27 + 108 = 81 \][/tex]
- Mínimo local en:
[tex]\[ f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) = 16 + 12 - 72 = -44 \][/tex]
### c) Intervalos de concavidad y puntos de inflexión
Para determinar la concavidad, examinamos la segunda derivada [tex]\( f''(x) = 12x + 6 \)[/tex].
- Para encontrar los puntos de inflexión, igualamos [tex]\( f''(x) \)[/tex] a cero:
[tex]\[ 12x + 6 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{1}{2} \][/tex]
Para determinar los intervalos de concavidad, seleccionamos puntos de prueba en los intervalos [tex]\((-∞, -\frac{1}{2})\)[/tex] y [tex]\((-\frac{1}{2}, ∞)\)[/tex]:
1. Para [tex]\( x \in (-∞, -\frac{1}{2}) \)[/tex], tomamos [tex]\( x = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ f''(-1) = 12(-1) + 6 = -12 + 6 = -6 \][/tex]
[tex]\( f''(-1) < 0 \)[/tex], entonces [tex]\( f \)[/tex] es cóncava hacia abajo en [tex]\((-∞, -\frac{1}{2})\)[/tex].
2. Para [tex]\( x \in (-\frac{1}{2}, ∞) \)[/tex], tomamos [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ f''(0) = 12(0) + 6 = 6 \][/tex]
[tex]\( f''(0) > 0 \)[/tex], entonces [tex]\( f \)[/tex] es cóncava hacia arriba en [tex]\((-\frac{1}{2}, ∞)\)[/tex].
El punto de inflexión es en:
[tex]\[ x = -\frac{1}{2} \][/tex]
Evaluamos [tex]\( f(x) \)[/tex] en este punto:
[tex]\[ f\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 36\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 18 = 18.5 \][/tex]
### Resumen:
- Intervalos de crecimiento: [tex]\((-∞, -3)\)[/tex] y [tex]\((2, ∞)\)[/tex]
- Intervalos de decrecimiento: [tex]\((-3, 2)\)[/tex]
- Máximo local: [tex]\( x = -3 \)[/tex] con [tex]\( f(-3) = 81 \)[/tex]
- Mínimo local: [tex]\( x = 2 \)[/tex] con [tex]\( f(2) = -44 \)[/tex]
- Intervalos de concavidad hacia abajo: [tex]\((-∞, -\frac{1}{2})\)[/tex]
- Intervalos de concavidad hacia arriba: [tex]\((-\frac{1}{2}, ∞)\)[/tex]
- Punto de inflexión: [tex]\( x = -\frac{1}{2} \)[/tex] con [tex]\( f\left(-\frac{1}{2}\right) = 18.5 \)[/tex]
### a) Encontrar los intervalos donde [tex]\( f \)[/tex] es creciente o decreciente
Primero, derivamos la función [tex]\( f(x) \)[/tex] para encontrar su primera derivada [tex]\( f'(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x \][/tex]
La primera derivada [tex]\( f'(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 36x) = 6x^2 + 6x - 36 \][/tex]
Para encontrar los puntos críticos, igualamos [tex]\( f'(x) \)[/tex] a cero y resolvemos para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ 6x^2 + 6x - 36 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + x - 6 = 0 \][/tex]
Factorizamos la ecuación cuadrática:
[tex]\[ (x + 3)(x - 2) = 0 \][/tex]
De aquí, obtenemos los puntos críticos:
[tex]\[ x = -3 \][/tex]
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
Para determinar si la función es creciente o decreciente en los intervalos determinados por estos puntos críticos, seleccionamos puntos de prueba en cada intervalo [tex]\((-∞, -3)\)[/tex], [tex]\((-3, 2)\)[/tex] y [tex]\((2, ∞)\)[/tex]:
1. Para [tex]\( x \in (-∞, -3) \)[/tex], tomamos [tex]\( x = -4 \)[/tex]:
[tex]\[ f'(-4) = 6(-4)^2 + 6(-4) - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 \][/tex]
[tex]\( f'(-4) > 0 \)[/tex], entonces [tex]\( f \)[/tex] es creciente en [tex]\((-∞, -3)\)[/tex].
2. Para [tex]\( x \in (-3, 2) \)[/tex], tomamos [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ f'(0) = 6(0)^2 + 6(0) - 36 = -36 \][/tex]
[tex]\( f'(0) < 0 \)[/tex], entonces [tex]\( f \)[/tex] es decreciente en [tex]\((-3, 2)\)[/tex].
3. Para [tex]\( x \in (2, ∞) \)[/tex], tomamos [tex]\( x = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ f'(3) = 6(3)^2 + 6(3) - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 \][/tex]
[tex]\( f'(3) > 0 \)[/tex], entonces [tex]\( f \)[/tex] es creciente en [tex]\((2, ∞)\)[/tex].
### b) Valores máximos y mínimos locales
Para determinar si los puntos críticos son máximos o mínimos locales, evaluamos la segunda derivada [tex]\( f''(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 + 6x - 36) = 12x + 6 \][/tex]
Evaluamos [tex]\( f''(x) \)[/tex] en los puntos críticos [tex]\( x = -3 \)[/tex] y [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
1. Para [tex]\( x = -3 \)[/tex]:
[tex]\[ f''(-3) = 12(-3) + 6 = -36 + 6 = -30 \][/tex]
[tex]\( f''(-3) < 0 \)[/tex], entonces hay un máximo local en [tex]\( x = -3 \)[/tex].
2. Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ f''(2) = 12(2) + 6 = 24 + 6 = 30 \][/tex]
[tex]\( f''(2) > 0 \)[/tex], entonces hay un mínimo local en [tex]\( x = 2 \)[/tex].
Para hallar los valores de [tex]\( f \)[/tex] en estos puntos:
- Máximo local en:
[tex]\[ f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = -54 + 27 + 108 = 81 \][/tex]
- Mínimo local en:
[tex]\[ f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) = 16 + 12 - 72 = -44 \][/tex]
### c) Intervalos de concavidad y puntos de inflexión
Para determinar la concavidad, examinamos la segunda derivada [tex]\( f''(x) = 12x + 6 \)[/tex].
- Para encontrar los puntos de inflexión, igualamos [tex]\( f''(x) \)[/tex] a cero:
[tex]\[ 12x + 6 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{1}{2} \][/tex]
Para determinar los intervalos de concavidad, seleccionamos puntos de prueba en los intervalos [tex]\((-∞, -\frac{1}{2})\)[/tex] y [tex]\((-\frac{1}{2}, ∞)\)[/tex]:
1. Para [tex]\( x \in (-∞, -\frac{1}{2}) \)[/tex], tomamos [tex]\( x = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ f''(-1) = 12(-1) + 6 = -12 + 6 = -6 \][/tex]
[tex]\( f''(-1) < 0 \)[/tex], entonces [tex]\( f \)[/tex] es cóncava hacia abajo en [tex]\((-∞, -\frac{1}{2})\)[/tex].
2. Para [tex]\( x \in (-\frac{1}{2}, ∞) \)[/tex], tomamos [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ f''(0) = 12(0) + 6 = 6 \][/tex]
[tex]\( f''(0) > 0 \)[/tex], entonces [tex]\( f \)[/tex] es cóncava hacia arriba en [tex]\((-\frac{1}{2}, ∞)\)[/tex].
El punto de inflexión es en:
[tex]\[ x = -\frac{1}{2} \][/tex]
Evaluamos [tex]\( f(x) \)[/tex] en este punto:
[tex]\[ f\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 36\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 18 = 18.5 \][/tex]
### Resumen:
- Intervalos de crecimiento: [tex]\((-∞, -3)\)[/tex] y [tex]\((2, ∞)\)[/tex]
- Intervalos de decrecimiento: [tex]\((-3, 2)\)[/tex]
- Máximo local: [tex]\( x = -3 \)[/tex] con [tex]\( f(-3) = 81 \)[/tex]
- Mínimo local: [tex]\( x = 2 \)[/tex] con [tex]\( f(2) = -44 \)[/tex]
- Intervalos de concavidad hacia abajo: [tex]\((-∞, -\frac{1}{2})\)[/tex]
- Intervalos de concavidad hacia arriba: [tex]\((-\frac{1}{2}, ∞)\)[/tex]
- Punto de inflexión: [tex]\( x = -\frac{1}{2} \)[/tex] con [tex]\( f\left(-\frac{1}{2}\right) = 18.5 \)[/tex]
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