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Sagot :
Resolveremos cada uno de los sistemas de ecuaciones dados por el método de reducción y determinaremos si tienen una solución, infinitas soluciones o ninguna solución.
### Sistema 1
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} -2x + y = -8 \\ x - \frac{1}{2}y = 4 \end{array}\right. \][/tex]
Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para facilitar la eliminación de [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ 2\left(x - \frac{1}{2}y = 4\right) \implies 2x - y = 8 \][/tex]
Ahora tenemos:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} -2x + y = -8 \\ 2x - y = 8 \end{array}\right. \][/tex]
Sumamos ambas ecuaciones:
[tex]\[ (-2x + y) + (2x - y) = -8 + 8 \implies 0 = 0 \][/tex]
Esto produce una ecuación 0 = 0, lo que indica que las dos ecuaciones son inconsistentes, ya que contradictoriamente se simplifican a una verdad obvia sin relación directa con [tex]\(x\)[/tex] o [tex]\(y\)[/tex].
Resultado: No tiene solución para el sistema 1.
### Sistema 2
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 5x + 3y = 4 \\ 3x - 2y = 10 \end{array}\right. \][/tex]
Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3 para que podamos eliminar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 2(5x + 3y = 4) \implies 10x + 6y = 8\\ 3(3x - 2y = 10) \implies 9x - 6y = 30 \][/tex]
Ahora tenemos:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 10x + 6y = 8 \\ 9x - 6y = 30 \end{array}\right. \][/tex]
Sumamos ambas ecuaciones:
[tex]\[ (10x + 6y) + (9x - 6y) = 8 + 30 \implies 19x = 38 \implies x = 2 \][/tex]
Sustituimos [tex]\(x = 2\)[/tex] en una de las ecuaciones originales para encontrar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ 5(2) + 3y = 4 \implies 10 + 3y = 4 \implies 3y = -6 \implies y = -2 \][/tex]
Resultado: Tiene una solución [tex]\(x = 2\)[/tex] e [tex]\(y = -2\)[/tex].
### Sistema 3
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} x + 3y = 2 \\ 2x + 6y = -3 \end{array}\right. \][/tex]
Multiplicamos la primera ecuación por 2:
[tex]\[ 2(x + 3y = 2) \implies 2x + 6y = 4 \][/tex]
Ahora tenemos:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 2x + 6y = 4 \\ 2x + 6y = -3 \end{array}\right. \][/tex]
Restamos la segunda ecuación de la primera:
[tex]\[ (2x + 6y) - (2x + 6y) = 4 - (-3) \implies 0 = 7 \][/tex]
Esto produce una contradicción [tex]\(0 = 7\)[/tex], una inconsistencia.
Resultado: No tiene solución para el sistema 3.
### Conclusión
- Sistema 1: No tiene solución.
- Sistema 2: Tiene una solución.
- Sistema 3: No tiene solución.
La asociación con los resultados obtenidos es la siguiente:
1. [tex]$\left\{\begin{array}{l} -2 x + y = -8 \\ x - \frac{1}{2} y = 4 \end{array}\right.$[/tex] -> No tiene solución.
2. [tex]$\left\{\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 4 \\ 3 x - 2 y = 10 \end{array}\right.$[/tex] -> Tiene una solución.
3. [tex]$\left\{\begin{array}{l} x + 3 y = 2 \\ 2 x + 6 y = -3 \end{array}\right.$[/tex] -> No tiene solución.
### Sistema 1
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} -2x + y = -8 \\ x - \frac{1}{2}y = 4 \end{array}\right. \][/tex]
Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para facilitar la eliminación de [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ 2\left(x - \frac{1}{2}y = 4\right) \implies 2x - y = 8 \][/tex]
Ahora tenemos:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} -2x + y = -8 \\ 2x - y = 8 \end{array}\right. \][/tex]
Sumamos ambas ecuaciones:
[tex]\[ (-2x + y) + (2x - y) = -8 + 8 \implies 0 = 0 \][/tex]
Esto produce una ecuación 0 = 0, lo que indica que las dos ecuaciones son inconsistentes, ya que contradictoriamente se simplifican a una verdad obvia sin relación directa con [tex]\(x\)[/tex] o [tex]\(y\)[/tex].
Resultado: No tiene solución para el sistema 1.
### Sistema 2
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 5x + 3y = 4 \\ 3x - 2y = 10 \end{array}\right. \][/tex]
Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3 para que podamos eliminar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 2(5x + 3y = 4) \implies 10x + 6y = 8\\ 3(3x - 2y = 10) \implies 9x - 6y = 30 \][/tex]
Ahora tenemos:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 10x + 6y = 8 \\ 9x - 6y = 30 \end{array}\right. \][/tex]
Sumamos ambas ecuaciones:
[tex]\[ (10x + 6y) + (9x - 6y) = 8 + 30 \implies 19x = 38 \implies x = 2 \][/tex]
Sustituimos [tex]\(x = 2\)[/tex] en una de las ecuaciones originales para encontrar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ 5(2) + 3y = 4 \implies 10 + 3y = 4 \implies 3y = -6 \implies y = -2 \][/tex]
Resultado: Tiene una solución [tex]\(x = 2\)[/tex] e [tex]\(y = -2\)[/tex].
### Sistema 3
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} x + 3y = 2 \\ 2x + 6y = -3 \end{array}\right. \][/tex]
Multiplicamos la primera ecuación por 2:
[tex]\[ 2(x + 3y = 2) \implies 2x + 6y = 4 \][/tex]
Ahora tenemos:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 2x + 6y = 4 \\ 2x + 6y = -3 \end{array}\right. \][/tex]
Restamos la segunda ecuación de la primera:
[tex]\[ (2x + 6y) - (2x + 6y) = 4 - (-3) \implies 0 = 7 \][/tex]
Esto produce una contradicción [tex]\(0 = 7\)[/tex], una inconsistencia.
Resultado: No tiene solución para el sistema 3.
### Conclusión
- Sistema 1: No tiene solución.
- Sistema 2: Tiene una solución.
- Sistema 3: No tiene solución.
La asociación con los resultados obtenidos es la siguiente:
1. [tex]$\left\{\begin{array}{l} -2 x + y = -8 \\ x - \frac{1}{2} y = 4 \end{array}\right.$[/tex] -> No tiene solución.
2. [tex]$\left\{\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 4 \\ 3 x - 2 y = 10 \end{array}\right.$[/tex] -> Tiene una solución.
3. [tex]$\left\{\begin{array}{l} x + 3 y = 2 \\ 2 x + 6 y = -3 \end{array}\right.$[/tex] -> No tiene solución.
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