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Sagot :
Podemos abordar estos problemas trazando gráficas y analizando los límites en los puntos críticos donde se unen los tramos de las funciones. A continuación, se describe cómo se pueden trazar estas funciones y determinar los valores de [tex]\( a \)[/tex] para los cuales [tex]\(\lim_{x \rightarrow a} f(x)\)[/tex] existe.
### Problema 11:
[tex]\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1+x & \text { si } x < -1 \\ x^2 & \text { si } -1 < x < 1 \\ 2-x & \text { si } x \geqslant 1 \end{array}\right. \][/tex]
Para determinar los valores de [tex]\( a \)[/tex] donde [tex]\(\lim_{x \rightarrow a} f(x)\)[/tex] existe, debemos revisar los puntos de transición: [tex]\( x = -1 \)[/tex] y [tex]\( x = 1 \)[/tex].
Paso 1: Gráfica de cada tramo
1. Tramo 1: [tex]\( 1 + x \)[/tex] para [tex]\( x < -1 \)[/tex]
- Es una recta con pendiente 1 y la gráfica es una línea que empieza desde [tex]\( (x <-1) \)[/tex] con valores crecientes.
2. Tramo 2: [tex]\( x^2 \)[/tex] para [tex]\( -1 < x < 1 \)[/tex]
- Es una parábola que abre hacia arriba con el vértice en el origen [tex]\((0,0)\)[/tex].
3. Tramo 3: [tex]\( 2 - x \)[/tex] para [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]
- Es una recta con pendiente -1 que decrece empezando de [tex]\( (x \geq 1) \)[/tex].
Paso 2: Revisar las condiciones de los límites en los puntos de transición
1. En [tex]\( x = -1 \)[/tex]
- Analicemos los límites laterales:
[tex]\[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (1+x) = 0 \][/tex]
[tex]\[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x^2 = 1 \][/tex]
Estos dos límites no coinciden, por lo tanto, el límite en [tex]\( x = -1 \)[/tex] no existe.
2. En [tex]\( x = 1 \)[/tex]
- Analicemos los límites laterales:
[tex]\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1 \][/tex]
[tex]\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2 - x) = 1 \][/tex]
Estos dos límites coinciden y además [tex]\( f(1) = 1 \)[/tex], por lo tanto, el límite en [tex]\( x = 1 \)[/tex] existe y es 1.
Por lo tanto, [tex]\(\lim_{x \rightarrow a} f(x)\)[/tex] existe para todos los valores de [tex]\( a \)[/tex] excepto para [tex]\( a = -1 \)[/tex].
### Problema 12:
[tex]\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1+\sin x & \text { si } x < 0 \\ \cos x & \text { si } 0 \leqslant x \leqslant \pi \\ \sin x & \text { si } x > \pi \end{array}\right. \][/tex]
Determinamos los valores de [tex]\( a \)[/tex] donde [tex]\(\lim_{x \rightarrow a} f(x)\)[/tex] existe observando los puntos críticos: [tex]\( x = 0 \)[/tex] y [tex]\( x = \pi \)[/tex].
Paso 1: Gráfica de cada tramo
1. Tramo 1: [tex]\( 1 + \sin x \)[/tex] para [tex]\( x < 0 \)[/tex]
- Es una función sinusoidal desplazada hacia arriba en 1 unidad, en el intervalo negativo.
2. Tramo 2: [tex]\( \cos x \)[/tex] para [tex]\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \)[/tex]
- Es una funcióm coseno que inicia en 1 (cuando x = 0) y termina en -1 (cuando x = π).
3. Tramo 3: [tex]\( \sin x \)[/tex] para [tex]\( x > \pi \)[/tex]
- Es una función sinusoidal en el intervalo mayor que [tex]\( \pi \)[/tex].
Paso 2: Revisar las condiciones de los límites en los puntos de transición
1. En [tex]\( x = 0 \)[/tex]
- Analizamos los límites laterales:
[tex]\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 + \sin x) = 1 \][/tex]
[tex]\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \cos x = 1 \][/tex]
Estos dos límites coinciden y además [tex]\( f(0) = 1 \)[/tex], por lo tanto, el límite en [tex]\( x = 0 \)[/tex] existe y es 1.
2. En [tex]\( x = \pi \)[/tex]
- Analizamos los límites laterales:
[tex]\[ \lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} \cos x = -1 \][/tex]
[tex]\[ \lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} \sin x = 0 \][/tex]
Estos dos límites no coinciden, por lo tanto, el límite en [tex]\( x = \pi \)[/tex] no existe.
Por lo tanto, [tex]\(\lim_{x \rightarrow a} f(x)\)[/tex] existe para todos los valores de [tex]\( a \)[/tex] excepto para [tex]\( a = \pi \)[/tex].
### Problema 11:
[tex]\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1+x & \text { si } x < -1 \\ x^2 & \text { si } -1 < x < 1 \\ 2-x & \text { si } x \geqslant 1 \end{array}\right. \][/tex]
Para determinar los valores de [tex]\( a \)[/tex] donde [tex]\(\lim_{x \rightarrow a} f(x)\)[/tex] existe, debemos revisar los puntos de transición: [tex]\( x = -1 \)[/tex] y [tex]\( x = 1 \)[/tex].
Paso 1: Gráfica de cada tramo
1. Tramo 1: [tex]\( 1 + x \)[/tex] para [tex]\( x < -1 \)[/tex]
- Es una recta con pendiente 1 y la gráfica es una línea que empieza desde [tex]\( (x <-1) \)[/tex] con valores crecientes.
2. Tramo 2: [tex]\( x^2 \)[/tex] para [tex]\( -1 < x < 1 \)[/tex]
- Es una parábola que abre hacia arriba con el vértice en el origen [tex]\((0,0)\)[/tex].
3. Tramo 3: [tex]\( 2 - x \)[/tex] para [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]
- Es una recta con pendiente -1 que decrece empezando de [tex]\( (x \geq 1) \)[/tex].
Paso 2: Revisar las condiciones de los límites en los puntos de transición
1. En [tex]\( x = -1 \)[/tex]
- Analicemos los límites laterales:
[tex]\[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (1+x) = 0 \][/tex]
[tex]\[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x^2 = 1 \][/tex]
Estos dos límites no coinciden, por lo tanto, el límite en [tex]\( x = -1 \)[/tex] no existe.
2. En [tex]\( x = 1 \)[/tex]
- Analicemos los límites laterales:
[tex]\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1 \][/tex]
[tex]\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2 - x) = 1 \][/tex]
Estos dos límites coinciden y además [tex]\( f(1) = 1 \)[/tex], por lo tanto, el límite en [tex]\( x = 1 \)[/tex] existe y es 1.
Por lo tanto, [tex]\(\lim_{x \rightarrow a} f(x)\)[/tex] existe para todos los valores de [tex]\( a \)[/tex] excepto para [tex]\( a = -1 \)[/tex].
### Problema 12:
[tex]\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1+\sin x & \text { si } x < 0 \\ \cos x & \text { si } 0 \leqslant x \leqslant \pi \\ \sin x & \text { si } x > \pi \end{array}\right. \][/tex]
Determinamos los valores de [tex]\( a \)[/tex] donde [tex]\(\lim_{x \rightarrow a} f(x)\)[/tex] existe observando los puntos críticos: [tex]\( x = 0 \)[/tex] y [tex]\( x = \pi \)[/tex].
Paso 1: Gráfica de cada tramo
1. Tramo 1: [tex]\( 1 + \sin x \)[/tex] para [tex]\( x < 0 \)[/tex]
- Es una función sinusoidal desplazada hacia arriba en 1 unidad, en el intervalo negativo.
2. Tramo 2: [tex]\( \cos x \)[/tex] para [tex]\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \)[/tex]
- Es una funcióm coseno que inicia en 1 (cuando x = 0) y termina en -1 (cuando x = π).
3. Tramo 3: [tex]\( \sin x \)[/tex] para [tex]\( x > \pi \)[/tex]
- Es una función sinusoidal en el intervalo mayor que [tex]\( \pi \)[/tex].
Paso 2: Revisar las condiciones de los límites en los puntos de transición
1. En [tex]\( x = 0 \)[/tex]
- Analizamos los límites laterales:
[tex]\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 + \sin x) = 1 \][/tex]
[tex]\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \cos x = 1 \][/tex]
Estos dos límites coinciden y además [tex]\( f(0) = 1 \)[/tex], por lo tanto, el límite en [tex]\( x = 0 \)[/tex] existe y es 1.
2. En [tex]\( x = \pi \)[/tex]
- Analizamos los límites laterales:
[tex]\[ \lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} \cos x = -1 \][/tex]
[tex]\[ \lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} \sin x = 0 \][/tex]
Estos dos límites no coinciden, por lo tanto, el límite en [tex]\( x = \pi \)[/tex] no existe.
Por lo tanto, [tex]\(\lim_{x \rightarrow a} f(x)\)[/tex] existe para todos los valores de [tex]\( a \)[/tex] excepto para [tex]\( a = \pi \)[/tex].
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