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Sagot :
Claro, vamos a abordar este problema paso a paso.
### Gráfica de la Línea Recta
Primero, necesitamos dibujar la línea recta que pasa por los puntos dados: [tex]\((-4, -1)\)[/tex], [tex]\((-2, 0.5)\)[/tex], [tex]\((0, 2)\)[/tex], [tex]\((2, 3.5)\)[/tex] y [tex]\((4, 5)\)[/tex].
1. Identificación de los puntos:
- [tex]\((-4, -1)\)[/tex]
- [tex]\((-2, 0.5)\)[/tex]
- [tex]\((0, 2)\)[/tex]
- [tex]\((2, 3.5)\)[/tex]
- [tex]\((4, 5)\)[/tex]
2. Gráfico: Coloca estos puntos en un sistema de coordenadas y traza una línea recta que pasa por cada uno de ellos. La línea debe ser continua y ajustarse a la trayectoria que forman los puntos.
### Cálculo del Slope (Pendiente) y la Intersección con el Eje Y
La fórmula general para la ecuación de una línea recta es [tex]\(y = mx + b\)[/tex], donde:
- [tex]\(m\)[/tex] es la pendiente de la línea.
- [tex]\(b\)[/tex] es el término de intersección con el eje [tex]\(Y\)[/tex].
Para encontrar [tex]\(m\)[/tex] (la pendiente), usaremos dos puntos cualquiera. En este caso, escogeremos los puntos [tex]\((-4, -1)\)[/tex] y [tex]\((-2, 0.5)\)[/tex].
1. Pendiente [tex]\(m\)[/tex]:
[tex]\[ m = \frac{(0.5 - (-1))}{(-2 - (-4))} = \frac{0.5 + 1}{-2 + 4} = \frac{1.5}{2} = 0.75 \][/tex]
2. Intersección con el eje Y [tex]\(b\)[/tex]:
Usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la línea y uno de los puntos dados para encontrar [tex]\(b\)[/tex].
Tomando el punto [tex]\((0, 2)\)[/tex] (donde [tex]\(x = 0\)[/tex]):
[tex]\[ b = 2 \][/tex]
Entonces, la ecuación de la línea es:
[tex]\[ y = 0.75x + 2 \][/tex]
### Puntos de Corte
1. Intersección con el eje Y:
Donde [tex]\(x = 0\)[/tex]:
[tex]\[ y = 0.75(0) + 2 = 2 \][/tex]
Entonces, la línea intercepta el eje [tex]\(Y\)[/tex] en el punto [tex]\((0, 2)\)[/tex].
2. Intersección con el eje X:
Donde [tex]\(y = 0\)[/tex]:
[tex]\[ 0 = 0.75x + 2 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ 0.75x = -2 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-2}{0.75} = -\frac{8}{3} \][/tex]
Entonces, la línea intercepta el eje [tex]\(X\)[/tex] en el punto [tex]\(\left(-\frac{8}{3}, 0\right)\)[/tex].
### Resumen
- La ecuación de la línea que pasa por los puntos dados es [tex]\(y = 0.75x + 2\)[/tex].
- El punto de intersección con el eje [tex]\(Y\)[/tex] es [tex]\((0, 2)\)[/tex].
- El punto de intersección con el eje [tex]\(X\)[/tex] es [tex]\(\left(-\frac{8}{3}, 0\right)\)[/tex].
Los puntos de intersección concuerdan con los valores dados.
### Gráfica de la Línea Recta
Primero, necesitamos dibujar la línea recta que pasa por los puntos dados: [tex]\((-4, -1)\)[/tex], [tex]\((-2, 0.5)\)[/tex], [tex]\((0, 2)\)[/tex], [tex]\((2, 3.5)\)[/tex] y [tex]\((4, 5)\)[/tex].
1. Identificación de los puntos:
- [tex]\((-4, -1)\)[/tex]
- [tex]\((-2, 0.5)\)[/tex]
- [tex]\((0, 2)\)[/tex]
- [tex]\((2, 3.5)\)[/tex]
- [tex]\((4, 5)\)[/tex]
2. Gráfico: Coloca estos puntos en un sistema de coordenadas y traza una línea recta que pasa por cada uno de ellos. La línea debe ser continua y ajustarse a la trayectoria que forman los puntos.
### Cálculo del Slope (Pendiente) y la Intersección con el Eje Y
La fórmula general para la ecuación de una línea recta es [tex]\(y = mx + b\)[/tex], donde:
- [tex]\(m\)[/tex] es la pendiente de la línea.
- [tex]\(b\)[/tex] es el término de intersección con el eje [tex]\(Y\)[/tex].
Para encontrar [tex]\(m\)[/tex] (la pendiente), usaremos dos puntos cualquiera. En este caso, escogeremos los puntos [tex]\((-4, -1)\)[/tex] y [tex]\((-2, 0.5)\)[/tex].
1. Pendiente [tex]\(m\)[/tex]:
[tex]\[ m = \frac{(0.5 - (-1))}{(-2 - (-4))} = \frac{0.5 + 1}{-2 + 4} = \frac{1.5}{2} = 0.75 \][/tex]
2. Intersección con el eje Y [tex]\(b\)[/tex]:
Usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la línea y uno de los puntos dados para encontrar [tex]\(b\)[/tex].
Tomando el punto [tex]\((0, 2)\)[/tex] (donde [tex]\(x = 0\)[/tex]):
[tex]\[ b = 2 \][/tex]
Entonces, la ecuación de la línea es:
[tex]\[ y = 0.75x + 2 \][/tex]
### Puntos de Corte
1. Intersección con el eje Y:
Donde [tex]\(x = 0\)[/tex]:
[tex]\[ y = 0.75(0) + 2 = 2 \][/tex]
Entonces, la línea intercepta el eje [tex]\(Y\)[/tex] en el punto [tex]\((0, 2)\)[/tex].
2. Intersección con el eje X:
Donde [tex]\(y = 0\)[/tex]:
[tex]\[ 0 = 0.75x + 2 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ 0.75x = -2 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-2}{0.75} = -\frac{8}{3} \][/tex]
Entonces, la línea intercepta el eje [tex]\(X\)[/tex] en el punto [tex]\(\left(-\frac{8}{3}, 0\right)\)[/tex].
### Resumen
- La ecuación de la línea que pasa por los puntos dados es [tex]\(y = 0.75x + 2\)[/tex].
- El punto de intersección con el eje [tex]\(Y\)[/tex] es [tex]\((0, 2)\)[/tex].
- El punto de intersección con el eje [tex]\(X\)[/tex] es [tex]\(\left(-\frac{8}{3}, 0\right)\)[/tex].
Los puntos de intersección concuerdan con los valores dados.
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