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Sagot :
Para resolver la división de polinomios
[tex]\[ \frac{x^6 - 2x^4 y^2 + 2x^3 y^3 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6}{x^2 - 2y^2 + xy} \][/tex]
vamos a seguir el procedimiento de la división larga de polinomios. Vamos a dividir el polinomio numerador [tex]\(P(x, y) = x^6 - 2x^4 y^2 + 2x^3 y^3 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6\)[/tex] por el polinomio denominador [tex]\(D(x, y) = x^2 - 2y^2 + xy\)[/tex].
### Paso 1: Primer término del cociente
Observamos el término más alto del numerador [tex]\(x^6\)[/tex] y el del denominador [tex]\(x^2\)[/tex]. Para convertir [tex]\(x^2\)[/tex] en [tex]\(x^6\)[/tex] necesitamos multiplicarlo por [tex]\(x^4\)[/tex].
### Paso 2: Multiplicación y resta
Multiplicamos [tex]\(x^4\)[/tex] por todo el denominador:
[tex]\[ x^4 \cdot (x^2 - 2y^2 + xy) = x^6 - 2x^4 y^2 + x^5 y \][/tex]
Restamos este resultado del polinomio original [tex]\(P(x, y)\)[/tex]:
[tex]\[ x^6 - 2x^4 y^2 + 2x^3 y^3 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6 - (x^6 - 2x^4 y^2 + x^5 y) = -x^5 y + 2x^3 y^3 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6 \][/tex]
### Paso 3: Segundo término del cociente
Ahora, observamos el nuevo polinomio restante [tex]\(-x^5 y + 2x^3 y^3 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6\)[/tex] y el denominador [tex]\(x^2 - 2y^2 + xy\)[/tex]. Para transformar el término [tex]\(-x^5 y\)[/tex] se requiere multiplicar el denominador por [tex]\(-xy^3\)[/tex].
### Paso 4: Multiplicación y resta
Multiplicamos [tex]\(-xy^3\)[/tex] por el denominador:
[tex]\[ -xy^3 \cdot (x^2 - 2y^2 + xy) = -x^5y + 2x^3 y^3 - x^4 y^4 \][/tex]
Restamos este resultado del polinomio restante:
[tex]\[ -x^5 y + 2x^3 y^3 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6 - (-x^5 y + 2x^3 y^3 - x^4 y^4) = x^4 y^4 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6 \][/tex]
### Paso 5: Tercer término del cociente
El siguiente término será [tex]\(x^2 y^2\)[/tex] ya que se observa que [tex]\(x^4 y^4\)[/tex] se puede lograr al multiplicar por [tex]\(x^2 y^2\)[/tex] el denominador.
### Paso 6: Multiplicación y resta
Multiplicamos [tex]\(xy^2\)[/tex] por el denominador:
[tex]\[ x^2 y^2 \cdot (x^2 - 2y^2 + xy) = x^4 y^4 - 2x^2 y^6 + x^3 y^5 \][/tex]
Restamos este resultado:
[tex]\[ x^4 y^4 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6 - (x^4 y^4 - 2x^2 y^6 + x^3 y^5) = x^5 y^5 + 3xy^5 - 2y^6 \][/tex]
### Paso 7: Cuarto término del cociente
El último término del cociente es [tex]\(y^4\)[/tex], ya que es necesario para cancelar el [tex]\(y^6\)[/tex] en el denominador.
### Paso 8: Multiplicación y resta
Factor multiplicativo [tex]\(y^4\)[/tex]:
[tex]\[ y^4 \cdot (x^2 - 2y^2 + xy) = y^4 x^2 - 2xy^6 + y^5 x \][/tex]
La resta es:
[tex]\[ xy^6 + 3 y^5 - xy^6 = y^6. \][/tex]
### Resultado Final
Después de seguir estos pasos, obtenemos que el cociente de la división es:
[tex]\[ x^4 - x^3 y + x^2 y^2 - xy^3 + y^4 \][/tex]
Y no hay resto, por lo que el resultado final es:
[tex]\[ (x^4 - x^3 y + x^2 y^2 - xy^3 + y^4, 0) \][/tex]
El cociente es [tex]\(x^4 - x^3 y + x^2 y^2 - xy^3 + y^4\)[/tex] y el resto es [tex]\(0\)[/tex].
[tex]\[ \frac{x^6 - 2x^4 y^2 + 2x^3 y^3 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6}{x^2 - 2y^2 + xy} \][/tex]
vamos a seguir el procedimiento de la división larga de polinomios. Vamos a dividir el polinomio numerador [tex]\(P(x, y) = x^6 - 2x^4 y^2 + 2x^3 y^3 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6\)[/tex] por el polinomio denominador [tex]\(D(x, y) = x^2 - 2y^2 + xy\)[/tex].
### Paso 1: Primer término del cociente
Observamos el término más alto del numerador [tex]\(x^6\)[/tex] y el del denominador [tex]\(x^2\)[/tex]. Para convertir [tex]\(x^2\)[/tex] en [tex]\(x^6\)[/tex] necesitamos multiplicarlo por [tex]\(x^4\)[/tex].
### Paso 2: Multiplicación y resta
Multiplicamos [tex]\(x^4\)[/tex] por todo el denominador:
[tex]\[ x^4 \cdot (x^2 - 2y^2 + xy) = x^6 - 2x^4 y^2 + x^5 y \][/tex]
Restamos este resultado del polinomio original [tex]\(P(x, y)\)[/tex]:
[tex]\[ x^6 - 2x^4 y^2 + 2x^3 y^3 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6 - (x^6 - 2x^4 y^2 + x^5 y) = -x^5 y + 2x^3 y^3 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6 \][/tex]
### Paso 3: Segundo término del cociente
Ahora, observamos el nuevo polinomio restante [tex]\(-x^5 y + 2x^3 y^3 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6\)[/tex] y el denominador [tex]\(x^2 - 2y^2 + xy\)[/tex]. Para transformar el término [tex]\(-x^5 y\)[/tex] se requiere multiplicar el denominador por [tex]\(-xy^3\)[/tex].
### Paso 4: Multiplicación y resta
Multiplicamos [tex]\(-xy^3\)[/tex] por el denominador:
[tex]\[ -xy^3 \cdot (x^2 - 2y^2 + xy) = -x^5y + 2x^3 y^3 - x^4 y^4 \][/tex]
Restamos este resultado del polinomio restante:
[tex]\[ -x^5 y + 2x^3 y^3 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6 - (-x^5 y + 2x^3 y^3 - x^4 y^4) = x^4 y^4 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6 \][/tex]
### Paso 5: Tercer término del cociente
El siguiente término será [tex]\(x^2 y^2\)[/tex] ya que se observa que [tex]\(x^4 y^4\)[/tex] se puede lograr al multiplicar por [tex]\(x^2 y^2\)[/tex] el denominador.
### Paso 6: Multiplicación y resta
Multiplicamos [tex]\(xy^2\)[/tex] por el denominador:
[tex]\[ x^2 y^2 \cdot (x^2 - 2y^2 + xy) = x^4 y^4 - 2x^2 y^6 + x^3 y^5 \][/tex]
Restamos este resultado:
[tex]\[ x^4 y^4 - 2x^2 y^4 + 3x y^5 - 2y^6 - (x^4 y^4 - 2x^2 y^6 + x^3 y^5) = x^5 y^5 + 3xy^5 - 2y^6 \][/tex]
### Paso 7: Cuarto término del cociente
El último término del cociente es [tex]\(y^4\)[/tex], ya que es necesario para cancelar el [tex]\(y^6\)[/tex] en el denominador.
### Paso 8: Multiplicación y resta
Factor multiplicativo [tex]\(y^4\)[/tex]:
[tex]\[ y^4 \cdot (x^2 - 2y^2 + xy) = y^4 x^2 - 2xy^6 + y^5 x \][/tex]
La resta es:
[tex]\[ xy^6 + 3 y^5 - xy^6 = y^6. \][/tex]
### Resultado Final
Después de seguir estos pasos, obtenemos que el cociente de la división es:
[tex]\[ x^4 - x^3 y + x^2 y^2 - xy^3 + y^4 \][/tex]
Y no hay resto, por lo que el resultado final es:
[tex]\[ (x^4 - x^3 y + x^2 y^2 - xy^3 + y^4, 0) \][/tex]
El cociente es [tex]\(x^4 - x^3 y + x^2 y^2 - xy^3 + y^4\)[/tex] y el resto es [tex]\(0\)[/tex].
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