Para resolver este problema, seguiremos los siguientes pasos:
1. Determinar el número esperado de artículos defectuosos (E[X]):
La esperanza o valor esperado de una variable aleatoria binomial se calcula utilizando la fórmula:
[tex]\[
E[X] = n \cdot p
\][/tex]
donde [tex]\( n \)[/tex] es el número total de artículos y [tex]\( p \)[/tex] es la probabilidad de que un artículo sea defectuoso.
Dado que [tex]\( n = 10000 \)[/tex] y [tex]\( p = 0.02 \)[/tex], tenemos que:
[tex]\[
E[X] = 10000 \cdot 0.02 = 200
\][/tex]
Entonces, el número esperado de artículos defectuosos es 200.
2. Calcular la varianza de artículos defectuosos (Var[X]):
La varianza de una variable aleatoria binomial se obtiene con la fórmula:
[tex]\[
\text{Var}[X] = n \cdot p \cdot (1 - p)
\][/tex]
Usando nuevamente [tex]\( n = 10000 \)[/tex] y [tex]\( p = 0.02 \)[/tex], obtenemos:
[tex]\[
\text{Var}[X] = 10000 \cdot 0.02 \cdot (1 - 0.02) = 10000 \cdot 0.02 \cdot 0.98 = 196
\][/tex]
Por lo tanto, la varianza de artículos defectuosos es 196.
3. Determinar la desviación típica de artículos defectuosos (std[X]):
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Por lo tanto, se calcula como:
[tex]\[
\text{std}[X] = \sqrt{\text{Var}[X]}
\][/tex]
Sustituyendo la varianza que hemos calculado:
[tex]\[
\text{std}[X] = \sqrt{196} = 14
\][/tex]
Entonces, la desviación típica de artículos defectuosos es 14.
Resumiendo los resultados:
- El número esperado de artículos defectuosos es 200.
- La varianza de artículos defectuosos es 196.
- La desviación típica de artículos defectuosos es 14.
