Para encontrar el valor del límite
[tex]\[
\lim _{x \rightarrow 9} \frac{(x^3 - 27) (1 - x^3)}{-x^2 + 4x - 3},
\][/tex]
primero analizamos la expresión algebraica
[tex]\[
\frac{(x^3 - 27) (1 - x^3)}{-x^2 + 4x - 3}.
\][/tex]
Vamos a fijarnos en las partes individuales de la expresión:
1. [tex]\(x^3 - 27\)[/tex] puede escribirse como una diferencia de cubos:
[tex]\[
x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9).
\][/tex]
2. La expresión [tex]\(1 - x^3\)[/tex] puede escribirse como la suma de cubos negativos, lo que da lugar a:
[tex]\[
1 - x^3 = -(x^3 - 1) = -(x - 1)(x^2 + x + 1).
\][/tex]
3. El denominador [tex]\(-x^2 + 4x - 3\)[/tex] se puede factorizar como:
[tex]\[
-x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x - 3)(x - 1).
\][/tex]
Sustituyendo estas factorizaciones en la expresión original, obtenemos:
[tex]\[
\frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9) [-(x - 1)(x^2 + x + 1)]}{-(x - 3)(x - 1)}.
\][/tex]
Cancelamos los factores comunes en el numerador y en el denominador donde sea posible:
[tex]\[
\frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9) [-(x - 1)(x^2 + x + 1)]}{-(x - 3)(x - 1)}.
\][/tex]
[tex]\[
= \frac{(x^2 + 3x + 9) [-(x^2 + x + 1)]}{-1}.
\][/tex]
Simplificando, tenemos:
[tex]\[
= (x^2 + 3x + 9)(x^2 + x + 1).
\][/tex]
Ahora evaluamos el límite al sustituir [tex]\(x = 9\)[/tex]:
Primero, calculamos [tex]\(x^2 + 3x + 9\)[/tex] en [tex]\(x = 9\)[/tex]:
[tex]\[
9^2 + 3 \cdot 9 + 9 = 81 + 27 + 9 = 117.
\][/tex]
Luego, calculamos [tex]\(x^2 + x + 1\)[/tex] en [tex]\(x = 9\)[/tex]:
[tex]\[
9^2 + 9 + 1 = 81 + 9 + 1 = 91.
\][/tex]
Multiplicamos ambos resultados:
[tex]\[
117 \cdot 91 = 10647.
\][/tex]
Por lo tanto, el valor del límite es:
[tex]\[
\boxed{10647}.
\][/tex]
