Para calcular el límite:
[tex]\[
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^3-1\right)(x+1)}{x^2-1}
\][/tex]
seguimos los siguientes pasos:
1. Factorización de los términos:
- El término [tex]\(x^3 - 1\)[/tex] se puede factorizar como una diferencia de cubos:
[tex]\[
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
\][/tex]
- El término [tex]\(x^2 - 1\)[/tex] se puede factorizar como una diferencia de cuadrados:
[tex]\[
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
\][/tex]
Entonces, la expresión original se transforma en:
[tex]\[
\frac{(x^3 - 1)(x + 1)}{x^2 - 1} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}
\][/tex]
2. Simplificación de la fracción:
Observamos que hay factores comunes en el numerador y el denominador que se pueden cancelar:
[tex]\[
\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{(x^2 + x + 1)(x + 1)}{1} = x^2 + x + 1
\][/tex]
3. Evaluación del límite:
Entonces, la función simplificada es:
[tex]\[
f(x) = x^2 + x + 1
\][/tex]
Ahora evaluamos el límite directo de la función simplificada cuando [tex]\(x\)[/tex] tiende a 1:
[tex]\[
\lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 1^2 + 1 + 1 = 3
\][/tex]
Por lo tanto, el límite es:
[tex]\[
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^3 - 1\right)(x + 1)}{x^2 - 1} = 3
\][/tex]
En resumen, después de simplificar la expresión y evaluar el límite, encontramos que:
[tex]\[
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^3 - 1\right)(x + 1)}{x^2 - 1} = 3
\][/tex]
