Para resolver la ecuación cuadrática [tex]\(5x^2 + 6x - 8 = 0\)[/tex], seguiremos estos pasos detallados:
1. Formula General para Ecuaciones Cuadráticas:
La forma estándar de una ecuación cuadrática es:
[tex]\[
ax^2 + bx + c = 0
\][/tex]
donde [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex] son coeficientes. En este caso, tenemos [tex]\(a = 5\)[/tex], [tex]\(b = 6\)[/tex] y [tex]\(c = -8\)[/tex].
2. Discriminante:
El discriminante de una ecuación cuadrática se encuentra con la fórmula:
[tex]\[
\Delta = b^2 - 4ac
\][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[
\Delta = 6^2 - 4(5)(-8) = 36 + 160 = 196
\][/tex]
3. Calcular las Raíces:
Utilizamos la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de la ecuación:
[tex]\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
\][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[
x_1 = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 5}
\][/tex]
[tex]\[
x_1 = \frac{-6 + 14}{10} = \frac{8}{10} = 0.8
\][/tex]
Para la otra raíz:
[tex]\[
x_2 = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 5}
\][/tex]
[tex]\[
x_2 = \frac{-6 - 14}{10} = \frac{-20}{10} = -2
\][/tex]
4. Resultado Final:
Las raíces de la ecuación [tex]\(5x^2 + 6x - 8 = 0\)[/tex] son:
[tex]\[
x_1 = 0.8 \quad \text{y} \quad x_2 = -2
\][/tex]
Puesto que las opciones de respuesta están en fracciones y números enteros, debemos reconocer que 0.8 es igual a [tex]\(\frac{4}{5}\)[/tex]. Entonces, las raíces son:
[tex]\[
x_1 = \frac{4}{5} \quad \text{y} \quad x_2 = -2
\][/tex]
Por lo tanto, la opción correcta es:
(D) [tex]\(-2 ; \frac{4}{5}\)[/tex]
