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Sagot :
Para resolver el problema de encontrar la suma de dos vectores dados en términos de su magnitud y ángulo respecto a los puntos cardinales, vamos a descomponer cada vector en sus componentes [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex]. Luego sumaremos estas componentes para obtener las componentes del vector resultante y finalmente calcular la magnitud y el ángulo del vector resultante.
Dado:
- [tex]\(\vec{A} = 3 \text{ km} \, 28^\circ\)[/tex] noreste
- [tex]\(\vec{B} = 5 \text{ km} \, 43^\circ\)[/tex] sureste
### Paso 1: Descomponer los vectores en sus componentes [tex]\(x\)[/tex] e [tex]\(y\)[/tex]
#### Vector [tex]\(\vec{A}\)[/tex]
La dirección noreste implica que el vector [tex]\(\vec{A}\)[/tex] tiene componentes positivas en los ejes [tex]\(x\)[/tex] e [tex]\(y\)[/tex].
[tex]\[ A_x = |\vec{A}| \cos \theta_A = 3 \cos 28^\circ \][/tex]
[tex]\[ A_y = |\vec{A}| \sin \theta_A = 3 \sin 28^\circ \][/tex]
Calculamos los valores numéricos:
[tex]\[ A_x = 2.648842778576781 \text{ km} \][/tex]
[tex]\[ A_y = 1.4084146883576725 \text{ km} \][/tex]
#### Vector [tex]\(\vec{B}\)[/tex]
La dirección sureste implica que el vector [tex]\(\vec{B}\)[/tex] tiene una componente positiva en [tex]\(x\)[/tex] pero negativa en [tex]\(y\)[/tex].
[tex]\[ B_x = |\vec{B}| \cos \theta_B = 5 \cos 43^\circ \][/tex]
[tex]\[ B_y = -|\vec{B}| \sin \theta_B = -5 \sin 43^\circ \][/tex]
Calculamos los valores numéricos:
[tex]\[ B_x = 3.656768508095852 \text{ km} \][/tex]
[tex]\[ B_y = -3.4099918003124925 \text{ km} \][/tex]
### Paso 2: Sumar las componentes [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex]
#### Componente en [tex]\(x\)[/tex] del vector resultante
[tex]\[ R_x = A_x + B_x = 2.648842778576781 + 3.656768508095852 = 6.305611286672633 \text{ km} \][/tex]
#### Componente en [tex]\(y\)[/tex] del vector resultante
[tex]\[ R_y = A_y + B_y = 1.4084146883576725 - 3.4099918003124925 = -2.00157711195482 \text{ km} \][/tex]
### Paso 3: Calcular la magnitud del vector resultante
[tex]\[ |\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{6.305611286672633^2 + (-2.00157711195482)^2} = 6.615666605393193 \text{ km} \][/tex]
### Paso 4: Calcular el ángulo del vector resultante
[tex]\[ \theta_R = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-2.00157711195482}{6.305611286672633}\right) = -17.610891840240953^\circ \][/tex]
Como resultado, la suma de los dos vectores [tex]\(\vec{A} = 3 \text{ km} \, 28^\circ\)[/tex] noreste y [tex]\(\vec{B} = 5 \text{ km} \, 43^\circ\)[/tex] sureste es un vector con:
- Componentes [tex]\(x\)[/tex] e [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ R_x = 6.305611286672633 \text{ km}, \quad R_y = -2.00157711195482 \text{ km} \][/tex]
- Magnitud:
[tex]\[ |\vec{R}| = 6.615666605393193 \text{ km} \][/tex]
- Ángulo:
[tex]\[ \theta_R = -17.610891840240953^\circ \][/tex]
Dado:
- [tex]\(\vec{A} = 3 \text{ km} \, 28^\circ\)[/tex] noreste
- [tex]\(\vec{B} = 5 \text{ km} \, 43^\circ\)[/tex] sureste
### Paso 1: Descomponer los vectores en sus componentes [tex]\(x\)[/tex] e [tex]\(y\)[/tex]
#### Vector [tex]\(\vec{A}\)[/tex]
La dirección noreste implica que el vector [tex]\(\vec{A}\)[/tex] tiene componentes positivas en los ejes [tex]\(x\)[/tex] e [tex]\(y\)[/tex].
[tex]\[ A_x = |\vec{A}| \cos \theta_A = 3 \cos 28^\circ \][/tex]
[tex]\[ A_y = |\vec{A}| \sin \theta_A = 3 \sin 28^\circ \][/tex]
Calculamos los valores numéricos:
[tex]\[ A_x = 2.648842778576781 \text{ km} \][/tex]
[tex]\[ A_y = 1.4084146883576725 \text{ km} \][/tex]
#### Vector [tex]\(\vec{B}\)[/tex]
La dirección sureste implica que el vector [tex]\(\vec{B}\)[/tex] tiene una componente positiva en [tex]\(x\)[/tex] pero negativa en [tex]\(y\)[/tex].
[tex]\[ B_x = |\vec{B}| \cos \theta_B = 5 \cos 43^\circ \][/tex]
[tex]\[ B_y = -|\vec{B}| \sin \theta_B = -5 \sin 43^\circ \][/tex]
Calculamos los valores numéricos:
[tex]\[ B_x = 3.656768508095852 \text{ km} \][/tex]
[tex]\[ B_y = -3.4099918003124925 \text{ km} \][/tex]
### Paso 2: Sumar las componentes [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex]
#### Componente en [tex]\(x\)[/tex] del vector resultante
[tex]\[ R_x = A_x + B_x = 2.648842778576781 + 3.656768508095852 = 6.305611286672633 \text{ km} \][/tex]
#### Componente en [tex]\(y\)[/tex] del vector resultante
[tex]\[ R_y = A_y + B_y = 1.4084146883576725 - 3.4099918003124925 = -2.00157711195482 \text{ km} \][/tex]
### Paso 3: Calcular la magnitud del vector resultante
[tex]\[ |\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{6.305611286672633^2 + (-2.00157711195482)^2} = 6.615666605393193 \text{ km} \][/tex]
### Paso 4: Calcular el ángulo del vector resultante
[tex]\[ \theta_R = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-2.00157711195482}{6.305611286672633}\right) = -17.610891840240953^\circ \][/tex]
Como resultado, la suma de los dos vectores [tex]\(\vec{A} = 3 \text{ km} \, 28^\circ\)[/tex] noreste y [tex]\(\vec{B} = 5 \text{ km} \, 43^\circ\)[/tex] sureste es un vector con:
- Componentes [tex]\(x\)[/tex] e [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ R_x = 6.305611286672633 \text{ km}, \quad R_y = -2.00157711195482 \text{ km} \][/tex]
- Magnitud:
[tex]\[ |\vec{R}| = 6.615666605393193 \text{ km} \][/tex]
- Ángulo:
[tex]\[ \theta_R = -17.610891840240953^\circ \][/tex]
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