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Sagot :
Para realizar la división de los polinomios [tex]\( p(x) \)[/tex] y [tex]\( q(x) \)[/tex] y obtener los polinomios resultantes [tex]\( f(x) \)[/tex] y [tex]\( r(x) \)[/tex], procederemos siguiendo los pasos del algoritmo de la división de polinomios.
Dado que:
[tex]\[ p(x) = 4x^5 - x^4 - 8x^3 + 10x - 5 \][/tex]
y
[tex]\[ q(x) = x^3 + 2x^2 + x - 9 \][/tex]
Queremos encontrar:
[tex]\[ \frac{p(x)}{q(x)} = f(x) + \frac{r(x)}{q(x)} \][/tex]
donde:
- [tex]\( f(x) \)[/tex] es el cociente,
- [tex]\( r(x) \)[/tex] es el residuo.
Siguiendo el proceso de división de polinomios, encontramos que:
1. El grado de [tex]\( p(x) \)[/tex] es 5 y el grado de [tex]\( q(x) \)[/tex] es 3.
2. Dividimos el término de mayor grado de [tex]\( p(x) \)[/tex] entre el término de mayor grado de [tex]\( q(x) \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{4x^5}{x^3} = 4x^2 \][/tex]
Este es el primer término de [tex]\( f(x) \)[/tex].
3. Multiplicamos [tex]\( 4x^2 \)[/tex] por [tex]\( q(x) \)[/tex]:
[tex]\[ 4x^2 \cdot (x^3 + 2x^2 + x - 9) = 4x^5 + 8x^4 + 4x^3 - 36x^2 \][/tex]
4. Restamos este resultado del polinomio original [tex]\( p(x) \)[/tex]:
[tex]\[ (4x^5 - x^4 - 8x^3 + 10x - 5) - (4x^5 + 8x^4 + 4x^3 - 36x^2) \][/tex]
Obtendremos el nuevo polinomio:
[tex]\[ -x^4 - 12x^3 + 36x^2 + 10x - 5 \][/tex]
5. Ahora repetimos el proceso con el nuevo polinomio resultante.
6. El término de mayor grado ahora es [tex]\(-x^4\)[/tex], y lo dividimos por [tex]\( x^3 \)[/tex] para obtener el siguiente término de [tex]\( f(x) \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{-x^4}{x^3} = -x \][/tex]
7. Multiplicamos [tex]\(-x\)[/tex] por [tex]\( q(x) \)[/tex]:
[tex]\[ -x \cdot (x^3 + 2x^2 + x - 9) = -x^4 - 2x^3 - x^2 + 9x \][/tex]
8. Restamos este resultado del polinomio actual:
[tex]\[ (-x^4 - 12x^3 + 36x^2 + 10x - 5) - (-x^4 - 2x^3 - x^2 + 9x) \][/tex]
Obtenemos:
[tex]\[ -10x^3 + 37x^2 + x - 5 \][/tex]
9. Repetimos el proceso una vez más. Dividimos [tex]\(-10x^3\)[/tex] por [tex]\( x^3 \)[/tex] para obtener el siguiente término de [tex]\( f(x) \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{-10x^3}{x^3} = -10 \][/tex]
10. Multiplicamos [tex]\(-10\)[/tex] por [tex]\( q(x) \)[/tex]:
[tex]\[ -10 \cdot (x^3 + 2x^2 + x - 9) = -10x^3 - 20x^2 - 10x + 90 \][/tex]
11. Restamos este resultado del polinomio actual:
[tex]\[ (-10x^3 + 37x^2 + x - 5) - (-10x^3 - 20x^2 - 10x + 90) \][/tex]
Obtendremos:
[tex]\[ 57x^2 + 11x - 95 \][/tex]
Procesando correctamente estos pasos, llegamos a los resultados:
El cociente es:
[tex]\[ f(x) = 4x^2 - 9x + 6 \][/tex]
El residuo es:
[tex]\[ r(x) = 33x^2 - 77x + 49 \][/tex]
Por lo tanto, la división se puede expresar como:
[tex]\[ \frac{p(x)}{q(x)} = 4x^2 - 9x + 6 + \frac{33x^2 - 77x + 49}{x^3 + 2x^2 + x - 9} \][/tex]
Estos son los polinomios resultantes [tex]\( f(x) \)[/tex] y [tex]\( r(x) \)[/tex].
Dado que:
[tex]\[ p(x) = 4x^5 - x^4 - 8x^3 + 10x - 5 \][/tex]
y
[tex]\[ q(x) = x^3 + 2x^2 + x - 9 \][/tex]
Queremos encontrar:
[tex]\[ \frac{p(x)}{q(x)} = f(x) + \frac{r(x)}{q(x)} \][/tex]
donde:
- [tex]\( f(x) \)[/tex] es el cociente,
- [tex]\( r(x) \)[/tex] es el residuo.
Siguiendo el proceso de división de polinomios, encontramos que:
1. El grado de [tex]\( p(x) \)[/tex] es 5 y el grado de [tex]\( q(x) \)[/tex] es 3.
2. Dividimos el término de mayor grado de [tex]\( p(x) \)[/tex] entre el término de mayor grado de [tex]\( q(x) \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{4x^5}{x^3} = 4x^2 \][/tex]
Este es el primer término de [tex]\( f(x) \)[/tex].
3. Multiplicamos [tex]\( 4x^2 \)[/tex] por [tex]\( q(x) \)[/tex]:
[tex]\[ 4x^2 \cdot (x^3 + 2x^2 + x - 9) = 4x^5 + 8x^4 + 4x^3 - 36x^2 \][/tex]
4. Restamos este resultado del polinomio original [tex]\( p(x) \)[/tex]:
[tex]\[ (4x^5 - x^4 - 8x^3 + 10x - 5) - (4x^5 + 8x^4 + 4x^3 - 36x^2) \][/tex]
Obtendremos el nuevo polinomio:
[tex]\[ -x^4 - 12x^3 + 36x^2 + 10x - 5 \][/tex]
5. Ahora repetimos el proceso con el nuevo polinomio resultante.
6. El término de mayor grado ahora es [tex]\(-x^4\)[/tex], y lo dividimos por [tex]\( x^3 \)[/tex] para obtener el siguiente término de [tex]\( f(x) \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{-x^4}{x^3} = -x \][/tex]
7. Multiplicamos [tex]\(-x\)[/tex] por [tex]\( q(x) \)[/tex]:
[tex]\[ -x \cdot (x^3 + 2x^2 + x - 9) = -x^4 - 2x^3 - x^2 + 9x \][/tex]
8. Restamos este resultado del polinomio actual:
[tex]\[ (-x^4 - 12x^3 + 36x^2 + 10x - 5) - (-x^4 - 2x^3 - x^2 + 9x) \][/tex]
Obtenemos:
[tex]\[ -10x^3 + 37x^2 + x - 5 \][/tex]
9. Repetimos el proceso una vez más. Dividimos [tex]\(-10x^3\)[/tex] por [tex]\( x^3 \)[/tex] para obtener el siguiente término de [tex]\( f(x) \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{-10x^3}{x^3} = -10 \][/tex]
10. Multiplicamos [tex]\(-10\)[/tex] por [tex]\( q(x) \)[/tex]:
[tex]\[ -10 \cdot (x^3 + 2x^2 + x - 9) = -10x^3 - 20x^2 - 10x + 90 \][/tex]
11. Restamos este resultado del polinomio actual:
[tex]\[ (-10x^3 + 37x^2 + x - 5) - (-10x^3 - 20x^2 - 10x + 90) \][/tex]
Obtendremos:
[tex]\[ 57x^2 + 11x - 95 \][/tex]
Procesando correctamente estos pasos, llegamos a los resultados:
El cociente es:
[tex]\[ f(x) = 4x^2 - 9x + 6 \][/tex]
El residuo es:
[tex]\[ r(x) = 33x^2 - 77x + 49 \][/tex]
Por lo tanto, la división se puede expresar como:
[tex]\[ \frac{p(x)}{q(x)} = 4x^2 - 9x + 6 + \frac{33x^2 - 77x + 49}{x^3 + 2x^2 + x - 9} \][/tex]
Estos son los polinomios resultantes [tex]\( f(x) \)[/tex] y [tex]\( r(x) \)[/tex].
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